CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chứng minh đẳng thức 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2

Giải

Xét VP = (x + y)2 + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2 = 2x2 + 2y2 = 2(x2 + y2) = VT (đpcm)

Bài 2: Rút gọn biểu thức A = (x2 – 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) – x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3 

Giải

Ta có: A = (x2 – 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) – x3(x – y)(x2 + xy + y2) + 8y3

              = [(x2)3 – (2y)3] – x3(x3 – y3) + 8y3

              = x6 – 8y3 – x6 + x3y6 + 8y3

              = x3y3

Bài 3: Rút gọn biểu thức (3a – 1)2 + 2(9a2 – 1) + (3a + 1)2

Giải

    (3a – 1)2 + 2(9a2 – 1) + (3a + 1)2 

= (3a – 1)2 + 2(3a – 1)(3a + 1) + (3a + 1)2

= [(3a – 1) + (3a + 1)]2

= (3a – 1 + 3a + 1)2

= (6a)2 = 36a2

Bài 4: Chứng minh đẳng thức a+b2-a-b24 = ab

Giải

Xét VT = a+b2-a-b24 = a2 + 2ab + b2-(a2 - 2ab + b2)4 = a2 + 2ab + b2-a2 + 2ab - b24 = 4ab4 = ab = VP (đpcm)

Bài 5: Rút gọn biểu thức (3x + 4y – 5z)(3x – 4y + 5z)

Giải

     (3x + 4y – 5z)(3x – 4y + 5z)

= [3x + (4y – 5z)][3x – (4y – 5z)]

= (3x)2 – (4y – 5z)2

= 9x2 – (16y2 – 40yz + 25z2)

= 9x2 – 16y2 + 40yz – 25z2

Bài 6: Rút gọn biểu thức (3x – 4)2 – 2(3x – 4)(x – 4) + (4 – x)2

Giải

    (3x – 4)2 – 2(3x – 4)(x – 4) + (4 – x)2

= (3x – 4)2 – 2(3x – 4)(x – 4) + (x – 4)2 

= [(3x – 4) – (x – 4)]2

= (3x – 4 – x + 4)2

= (2x)2 = 4x2

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức B = (x + 3)2 + (x – 3)(x + 3) – 2(x + 2)(x – 4) với x = -12

Giải

B = (x + 3)2 + (x – 3)(x + 3) – 2(x + 2)(x – 4)

    = x2 + 6x + 9 + x2 – 9 – (2x + 4)(x – 4)

    = x2 + 6x + 9 + x2 – 9 – (2x2 – 8x + 4x – 16)

    = x2 + 6x + 9 + x2 – 9 – 2x2 + 8x – 4x + 16

    = 10x + 16

Thay x = -12 vào B, ta có B = 10.(-12) + 16 = – 5 + 16 = 11

Bài 2: Viết biểu thức tính diện tích hình vuông có cạnh bằng 3x + 1 dưới dạng đa thức

Giải 

Diện tích hình vuông có cạnh là 3x + 1 là: 

S = (3x + 1)(3x + 1) = (3x + 1)2 = (3x)2 + 2.3x.1 + 1 = 9x2 + 6x + 1

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức C = (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) – (x + 1)(x2 – x + 1) tại x = 12

Giải 

C = (3x + 1)(9x2 – 3x + 1) – (x + 1)(x2 – x + 1) 

    = (3x + 1)[(3x)2 – 3.1.x + 1] – (x – 1)(x2 – 1.x + 1)

    = (3x)3 + 13 – (x3 – 13)

    = 27x3 + 1 – x3 + 1

    = 26x3 + 2

Thay x = 12 vào C, ta có C = 26.(12)3 + 2 = 26.18 + 2 = 214  

Bài 4: Tính giá trị biểu thức A = 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 tại x = 4 và y = 6

Giải 

A = 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3 

    = (3x)3 – 3.(3x)2.2y + 3.3x.(2y)2 – (2y)3

    = (3x – 2y)3

Thay x = 4 và y = 6 vào A, ta có A = (3.4 – 2.6)3 = (12 – 12)3 = 0

Bài 5: Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2x – 3 dưới dạng đa thức

Giải 

Thể tích của khối lập phương có cạnh 2x – 3 là:

V = (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.(3)2 – (3)3 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Tính giá trị biểu thức A = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2) biết x + y = 1 và xy = 2

Giải 

A = 2(x3 + y3) – 3(x2 + y2)

    = 2(x + y)(x2 – xy + y2) – 3(x2 + y2)

    = 2(x + y)[x2 + 2xy + y2 – 3xy] – 3(x2 + 2xy + y2 – 2xy)

    = 2(x + y)[(x + y)2 – 3xy] – 3[(x + y)2 – 2xy]

Thay x + y = 1 và xy = 2 vào A, ta có

A = 2.1.(12 – 3.2) – 3(12 – 2.2) = 2.(– 5) – 3.(– 3) = – 10 + 9 = – 1   

Bài 2: Chứng minh biểu thức A = 3(x – 1)2 – (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x – 3)2 – (5 – 20x) không phụ thuộc vào giá trị của biến x 

Giải 

A = 3(x – 1)2 – (x + 1)2 + 2(x – 3)(x + 3) – (2x – 3)2 – (5 – 20x)

    = 3(x2 – 2x + 1) – (x2 + 2x + 1) + 2(x2 – 9) – (4x2 – 12x + 9) – 5 + 20x

    = 3x2 – 6x + 3 – x2 – 2x – 1 + 2x2 – 18 – 4x2 + 12x – 9 – 5 + 20x

    = – 30 (đpcm)

Bài 3: Tìm x, y, z thỏa mãn x2 + 10x + y2 – 2y + 62 + 9z2 – 36z 

Giải 

     x2 + 10x + y2 – 2y + 62 + 9z2 – 36z = 0

x2 + 2.x.5 + 52 + y2 – 2y + 1 + (3z)2 – 2.3z.6 + 62 = 0

(x + 5)2 + (y – 1)2 + (3z – 6)2 = 0

Vì (x + 5)2 0; (y – 1)2 0 và (3z – 6) 0 nên (x + 5)2 + (y – 1)2 + (3z – 6)2 = 0 khi {x+5=0 y-1=0 3z-6=0  {x= -5 y=1 z=2  

Bài 4: Tìm x biết (x – 4)(x2 + 4x + 16) + x(x + 5)(5 – x) = 12

Giải 

     (x – 4)(x2 + 4x + 16) + x(x + 5)(5 – x) = 12

(x – 4)(x2 + 4.x + 42) – x(x + 5)(x – 5) = 12

x3 – 43 – x(x2 – 52) = 12

x3 – 64 – x3 + 25x = 12

25x = 76

x = 7625

Vậy S = {7625}

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 1)2 + (3x – 4)2

Giải

A = (x + 1)2 + (3x – 4)2

    = x2 + 2x + 1 + (9x2 – 24x + 16)

    = x2 + 2x + 1 + 9x2 – 24x + 16

    = 10x2 – 22x + 17

A10 = x2 – 2210 x + 1710 = x2 – 2.x.1110 + (1110)2 – (1110)2 + 1710 = (x – 1110)2 – 121100 + 1710

         = (x – 1110)2 + 49100

A = 10.[ (x – 1110)2 + 49100 ] = 10(x – 1110)2 + 4910

Vì (x – 1110)2 0x nên 10(x – 1110)2 + 4910 4910

Dấu “=” xảy ra x – 1110 = 0 x = 1110

Vậy Amin = 4910 khi x = 1110

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức B = 2x – 6y – x2 – y2 – 2

Giải

B = 2x – 6y – x2 – y2 – 2

    = – x2 + 2x – 1 – y2 – 6y – 9 + 8

    = – (x2 – 2x + 1) – (y2 + 6y + 9) + 8

    = – (x – 1)2 – (y + 3)2 + 8

Vì – (x – 1)2 0x và – (y + 3)2 0 nên – (x – 1)2 – (y + 3)2 + 8 8

Dấu “=” xảy ra {x-1=0 y+3=0 {x=1 y=-3

Vậy Bmax = 8 khi x = 1 và y = – 3 

Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức C = 5x – x2

Giải

C = 5x – x2 = – (x2 – 5x) = – [x2 – 2.x.52 + (52)2 – (52)2] = – (x – 52)2 + 254

Vì – (x – 52)2 0x nên – (x – 52)2 + 254 254

Dấu “=” xảy ra x – 52 = 0 x = 52

Vậy Cmax = 254 khi x = 52