CHƯƠNG 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

BÀI 2: CÁC PHÉP TOÁN VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho A(x) = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2 và B(x) = 3x4 – x3 + x2 – 2x + 1. Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x)

Giải

Ta có: 

A(x) + B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2) + (3x4 – x3 + x2 – 2x + 1) 

                     = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2 + 3x4 – x3 + x2 – 2x + 1

                     = (x4 + 3x4) + (2x3 – x3) + (2x2 + x2) + (– x – 2x) + (– 2 + 1)

                     = 4x4 + x3 + 3x2 – 3x – 1

A(x) – B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2) – (3x4 – x3 + x2 – 2x + 1) 

                     = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 2 – 3x4 + x3 – x2 + 2x – 1

                     = (x4 – 3x4) + (2x3 + x3) + (2x2 – x2) + (– x + 2x) + (– 2 – 1)

                     = – 2x4 + 3x3 + x2 + x – 3

Bài 2: Thực hiện phép nhân (x2 + 2xy – 3).(– xy) 

Giải

Ta có: 

   (x2 + 2xy – 3).(– xy) 

= x2.(– xy) + 2xy.(– xy) – 3.(– xy) 

= – (x2.x).y – 2.(x.x).(y.y) + 3xy 

= – x3y – 2x2y2 + 3xy

Bài 3: Thực hiện phép chia (12x4y3 + 8x3y2 – 4xy2) : 2xy

Giải

Ta có : 

   (12x4y3 + 8x3y2 – 4xy2) : 2xy 

= [12x4y3 : (2xy)] + [8x3y2 : (2xy)] + [– 4xy2 : (2xy)]

= (12 : 2).( x4 : x).(y3 : y) + (8 : 2).( x3 : x) .(y2 : y)  + (– 4 : 2).( x : x) .(y2 : y)

= 6x3y2 + 4x2y – 2y

Bài 4: Cho A(x) = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 3 và B(x) = – 3x4 + x3 + x2 – 2x + 1. Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x)

Giải

Ta có: 

A(x) + B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 3) + (– 3x4 + x3 + x2 – 2x + 1) 

                     = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 3 – 3x4 + x3 + x2 – 2x + 1

                     = (x4 – 3x4) + (2x3 + x3) + (2x2 + x2) + (– x – 2x) + (– 3 + 1)

                     = – 2x4 + 4x3 + 3x2 – 3x – 2

A(x) – B(x) = (x4 + 2x3 + 2x2 – x – 3) – (– 3x4 + x3 + x2 – 2x + 1) 

                     = x4 + 2x3 + 2x2 – x – 3 + 3x4 – x3 – x2 + 2x – 1

                     = (x4 + 3x4) + (2x3 – x3) + (2x2 – x2) + (– x + 2x) + (– 3 – 1)

                     = 5x4 + x3 + x2 + x – 4

Bài 5: Thực hiện phép nhân (– 2x2 + 34y2 – 7xy).(– 4x2y2)

Giải

Ta có:

   (– 2x2 + 34y2 – 7xy).(– 4x2y2)

= (– 2x2).(– 4x2y2)+ 34y2.(– 4x2y2) – 7xy.(– 4x2y2)

= (– 2).(– 4).(x2.x2).y2 + 34. (– 4).x2.(y2.y2) – 7.(– 4).(x.x2).(y.y3)

= 8x4y2 – 3x2y4 + 28x3y4

Bài 6: Thực hiện phép chia (12x2y4 + 43xy3 – 23xy2) : (23xy2)

Giải

Ta có : 

   (12x2y4 + 43xy3 – 23xy2) : (23xy2)

= [12x2y4 : (23xy2)] + [43xy3 : (23xy2)] + [– 23xy2: (23xy2)]

= (12 : 23).( x2 : x).(y4 : y2) + (43 : 23).( x : x) .(y3 : y2)  + (– 23 : 23).( x : x) .(y2 : y2)

= 34xy2 + 2y – 1

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho P(x) = 2x4 – x2 + x – 2; Q(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1. Tìm đa thức H(x) biết H(x) + P(x) = Q(x)

Giải 

Vì H(x) + P(x) = Q(x)

nên H(x) = Q(x) – P(x)

H(x) = (3x4 + x3 + 2x2 + x + 1) – (2x4 – x2 + x – 2)

             = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 1 – 2x4 + x2 – x + 2

             = (3x4 – 2x4) + x3 + (2x2 + x2) + (x – x) + (1 + 2)

             = x4 + x3 + 3x2 + 3

Bài 2: Cho A(x) = 2x4 + x3 – x2 + x – 3; B(x) = 3x4 + x3 + 2x2 + x + 2. Tìm đa thức C(x) biết C(x) – B(x) = A(x)

Giải 

Vì C(x) – B(x) = A(x)

nên C(x) = A(x) + B(x)

C(x) = (2x4 + x3 – x2 + x – 3) + (3x4 + x3 + 2x2 + x + 2)

             = 2x4 + x3 – x2 + x – 3 + 3x4 + x3 + 2x2 + x + 2

             = (2x4 + 3x4) + (x3 + x3) + (– x2 + 2x2) + (x + x) + (– 3 + 2)

             = 5x4 + 2x3 – x2 + 2x – 1

Bài 3: Cho tam giác có chu vi bằng 7xy + 2x2y – 3xy2. Tính cạnh còn lại của tam giác biết hai cạnh của tam giác lần lượt bằng 3xy – 4x2y + xy2 và xy – 2x2y

Giải 

Độ dài cạnh còn lại là: 

    (7xy + 2x2y – 3xy2) – [(3xy – 4x2y + xy2) + (xy – 2x2y)] 

=  7xy + 2x2y – 3xy2 – 3xy + 4x2y – xy2 – xy + 2x2y

= (7xy – 3xy – xy) + (2x2y + 4x2y + 2x2y) + (– 3xy2 – xy2)

= 3xy + 8x2y – 4xy2

Bài 4: Tính giá trị biểu thức 4x2y – (3xy – 5x2y) + (4xy – 7x2y) với x = 13 và y = -32

Giải 

Ta có:

   4x2y – (3xy – 5x2y) + (4xy – 7x2y) 

= 4x2y – 3xy + 5x2y + 4xy – 7x2y

= (4x2y + 5x2y – 7x2y) + (– 3xy + 4xy)

= 2x2y + xy (1)

Thay x = 13 và y = -32 vào (1), ta có

2. (13)2.(-32) + (13).(-32) = – 3 – 12 = -72

Bài 5: Tính giá trị biểu thức x2(x – 3y) – y(y – 4x2) với x = 1; y = 4

Giải 

Ta có: 

x2(x – 3y) – y(y – 4x2) = x2.x – x2.3y – y.y + y.4x2 = x3 – 3x2y – y2 + 4x2y = x3 + x2y – y2 (2)

Thay x = 1 và y = 4 vào (2) ta có 13 + 12.4 – 42 = – 16

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Tìm x biết (x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 6

Giải 

Ta có:

(x + 2)(x + 3) – (x – 2)(x + 5) = 6

x(x + 3) + 2(x + 3) – x(x + 5) + 2(x + 5) = 6

x2 + 3x + 2x + 6 – x2 – 5x + 2x + 10 = 6

2x + 16 = 6 

2x = – 10

x = – 5 

Bài 2: Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng 5xy2 + 15x2y2 + 10x2y và chiều rộng bằng 5xy. 

Giải 

Ta có: 

Shcn = Chiều dài chiều rộng Chiều dài = Shcn : chiều rộng

Chiều dài = (5xy2 + 15x2y2 + 10x2y) : (5xy)

                     = (5xy2 : 5xy) + (15x2y2 : 5xy) + (10x2y : 5xy)

                     = y + 3xy + 2x

Bài 3: Tìm x biết 3(2x – 1)(3x – 1) – (2x – 3)(9x – 1) = 0

Giải 

3(2x – 1)(3x – 1) – (2x – 3)(9x – 1) = 0

3[2x(3x – 1) – (3x – 1)] – 2x(9x – 1) + 3(9x – 1) = 0

3(6x2 – 2x – 3x + 1) – 18x2 + 2x + 27x – 3 = 0

18x2 – 6x – 9x + 3 – 18x2 + 2x + 27x – 3 = 0

14x = 0 

x = 0

Bài 4: Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích bằng 16x3y2 – 4x2y2 + 12xy2 – 20y và chiều cao bằng 4y

Giải 

Ta có V = Sđáy.h Sđáy = V : h

Sđáy = (16x3y2 – 4x2y2 + 12xy2 – 20y) : (4y)

            = (16x3y2 : 4y) + (– 4x2y2 : 4y) + (12xy2 : 4y) + (– 20y : 4y)
            = 4x3y – x2y + 3xy – 5

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Một xe khách đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 60km/h. Sau đó 30 phút, một xe du lịch cũng đi từ Hà Nội đến Hải Phòng với vận tốc 80km/h. Cả hai xe đều không nghỉ dọc đường. Gọi A(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe du lịch đi được và B(x) là đa thức biểu thị quãng đường xe khách đi được kể từ khi xuất phát đến khi xe du lịch đi được x giờ. Chứng tỏ rằng đa thức G(x) = A(x) – B(x) có nghiệm là x = 32

Giải

Quãng đường xe du lịch đi được sau x giờ là: 80x (km)

Khi xe du lịch đi được x giờ thì xe khách đi được khoảng thời gian là:

x giờ + 30 phút = x + 0,5 (giờ)

Quãng đường xe khách đi được sau khi xe du lịch đi được x giờ là:

60.(x + 0,5) = 60x + 30 (km)

Vậy A(x) = 80x; B(x) = 60x + 30.

G(x) = A(x) – B(x) = 80x – (60x + 30) = 80x – 60x – 30 = 20x – 30

Vậy G(x) = 20x – 30.

Ta có: G(32) = 20. 32 – 30 = 0

Vậy x = 32 là nghiệm của đa thức G(x).

Bài 2: Tìm giá trị nguyên của n để hai biểu thức A và biểu thức B đồng thời chia hết cho biểu thức C biết A = x6y2n-6, B = 2x3ny18 – 2n và C = x2y4

Giải

{AC  BC  {n ∈Z 2n-6≥4 3n≥2 18-2n≥4 {n ∈Z 2n≥10 3n≥2 -2n≥-14 {n ∈Z n≥5 n≥23 n≤7 {n ∈Z 5≤n≤7

Bài 3: Tìm m sao cho với mọi x, ta có 2x3 – 3x2 + x + m = (x + 2)(2x2 – 7x + 15)

Giải

Ta có (x + 2)(2x2 – 7x + 15) = x(2x2 – 7x + 15) + 2(2x2 – 7x + 15) 

                                              = 2x3 – 7x2 + 15x + 4x2 – 14x + 30

  = 2x3 – 3x2 + x + 30 

Vì 2x3 – 3x2 + x + m = 2x3 – 3x2 + x + 30 m = 30