CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 1: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC

Giải

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52

Vậy BC = 5 cm

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5 cm, BC = 10 cm. Tính độ dài cạnh AC

Giải

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 AC2 = BC2 – AB2 = 102 – 52 = 75 = (53 )2

Vậy AC = 53 cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 63 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài cạnh AC

Giải

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BC2 – AC2 = 122 – (63 )2 = 36 = (6 )2

Vậy AB = 6 cm

Bài 4: Chứng minh rằng tam giác ABC có AB = 6; AC = 8; BC = 10 là tam giác vuông

Giải

Ta có: 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 suy ra AB2 + AC2 = BC2. Vậy tam giác ABC vuông tại A

Bài 5: Chứng minh rằng tam giác MNP có MN = 15 m; NP = 9 m; PM = 12 m là tam giác vuông

Giải

Ta có: 92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152 suy ra NP2 + PM2 = MN2. Vậy tam giác MNP vuông tại P

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 26 cm, AC = 10 cm. Tính chu vi tam giác ABC

Giải 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BC2 – AC2 = 262 – 102 = 576 = 242 AB = 24 cm

Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 24 + 10 + 26 = 60 cm

Bài 2: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 17 cm. Kẻ BD vuông góc AC. Tính BC, biết BD = 15 cm. 

Giải 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDA vuông tại D, ta có:

AB2 = BD2 + AD2 AD2 = AB2 – BD2 = 172 – 152 = 64 = 82 AD = 8 cm

Có AC = AD + DC DC = AC – AD = 17 – 8 = 9 cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDC vuông tại D, ta có:

BC2 = BD2 + AC2 = 152 + 92 = 306 = (334 )2   BC = 334  cm

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 20 cm; AC = 48 cm. Tính đường cao AH.

Giải 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 202 + 482 = 2704 = 522 BC = 52 cm

Diện tích tam giác ABC là S = 12 .AB.AC = 12. AH. BC

20. AC = AH.BC AH = AB.ACBC = 20.4852 = 24013 cm

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, kẻ AH vuông góc BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC = 20 cm, AH = 12 cm, BH = 5cm

Giải 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB2 = BH2 + AH2 = 52 + 122 = 169 = 132 AB = 13 cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H, ta có:

AC2 = AH2 + HC2 HC2 = AC2 – AH2 = 202 – 122 = 156 = 162 HC = 16 cm 

BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 cm

Chu vi tam giác ABC là AB + BC + AC = 13 + 21 + 20 = 54 cm 

Bài 5: Tính chiều cao của bức tường, biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường 1m

Giải 

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90º.

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABC ta có:

AC2 + BC2 = AB2

⇒ AC2 = AB2 – BC2 = 16 – 1 = 15

⇒ AC = 15 ≈ 3,87(m) hay chiều cao của bức tường là 3,87m.

3. VẬN DỤNG (4 câu)

Bài 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Giải 

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có: x2 + y2 = 262 ⇔ x2 + y2 = 676

Theo bài ra ta có: 

x5 = y12 x225 = y2144 = x2+y225+144 = 676169 = 4 

Khi đó ta có: {x2=25.4 x2=144.4 {x2=100 x2=576 {x=10 cm x=24 cm

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Tính HC

Giải 

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 152 + 202 = 625 = 252 BC = 25 cm

Suy ra BH = BC – HC = 25 – HC (cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB2 = AH2 + BH2 AH2 = AB2 – BH2

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có: AC2 = AH2 + HC2 AH2 = AC2 – HC2

AB2 – BH2 = AC2 – HC2

AB2 – (25 – HC)2 = AC2 – HC2

152 – (25 – HC)2 = 202 – HC2

225 – 625 + 50HC – HC2 = 400 – HC2

50HC – 800 = 0

HC = 16 cm

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với AC. Tính độ dài AH biết AB = 15 cm, BC = 10 cm

Giải 

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 15 cm

Suy ra AH = 15 – HC = 15 – HC (cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB2 = AH2 + BH2 BH2 = AB2 – AH2

Xét tam giác BCH vuông tại H, ta có: BC2 = BH2 + HC2 BH2 = BC2 – HC2

AB2 – AH2 = BC2 – HC2

AB2 – (15 – HC)2 = BC2 – HC2

152 – (15 – HC)2 = 102 – HC2

225 – 225 + 30HC – HC2 = 100 – HC2

30HC – 100 = 0

HC = 103 cm

AH = 353 cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AC. Kẻ Dê vuông góc BC. Chứng minh EB2 – EC2 = AB2

Giải 

Vì D là trung điểm AC nên AD = DC

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BED vuông tại E có EB2 = BD2 – DE2 (1)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CED vuông tại E có EC2 = DC2 – DE2 (2)

(1) – (2) ta có 

EB2 – EC2 = BD2 – DE2 – (DC2 – DE2) = BD2 – DE2 – DC2 + DE2 

                  = BD2 – DC2 = BD2 – AD2 = AB2 (đpcm)

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH (H BC). Biết rằng AH2 = BH.CH. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Giải

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có 

+ Xét tam giác ABH vuông tại H có AB2 = BH2 + AH2

+ Xét tam giác ABH vuông tại H có AC2 = AH2 + CH2

Cộng từng vế hai đẳng thức, ta được

AB2 + AC2 = BH2 + 2.AH2 + CH2

Theo giải thiết AH2 = BH.CH nên

AB2 + AC2 = BH2 + 2. BH.CH + CH2 = (BH + CH)2 = BC2 

Vậy AB2 + AC2 = BC2

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại A

Bài 2: Cho hình bên dưới, cho biết AD vuông góc DC, DC vuông góc BC, AB = 13 cm, AC = 15 cm và DC = 12 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC

Giải

Dựng AH BC với H BC.

Do AD // BC nên ACH = CAD (SLT)

Xét ∆AHC và ∆CDA có

ACH = CAD 

AC chung

AHC = CDA = 90o 

Do đó ∆AHC = ∆CDA (cạnh huyền – góc nhọn)

AH = CD = 12 cm

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có 

+ Tam giác AHC vuông tại H có CH2 = AC2 – AH2 = 152 – 122 = 81 CH = 9 cm

+ Tam giác AHB vuông tại H có BH2 = AB2 – AH2 = 132 – 122 = 25 CH = 5 cm

Do đó BC = BH + CH = 9 + 6 = 14 cm

Bài 3: Cho hình vẽ, biết MP = 6cm, NQ = 8cm, MN = 2cm, QP = 8cm và NMK = QPK. Chứng minh rằng MP NQ

Giải

Qua N dựng NH // MP với H PQ

MPN = HNP (SLT)

Ta có NMK = QPK (giả thiết) nên MN // PQ

MNP = HPN (SLT) 

Xét ∆MNP và ∆HPN có

MPN = HNP 

NP chung

MNP = HPN 

Do đó ∆MNP = ∆HPN(g.c.g)

PH = MN = 2 cm; NH = MP = 6 cm

Khi đó ∆NQH có NQ = 8cm, NH = 6cm và QH = QP + PH = 8 + 2 = 10

Ta có NQ2 + NH2 = 82 + 62 = 100; QH2 = 102 = 100. Suy ra NQ2 + NH2 = QH2

Do đó ∆NQH vuông tại N (định lí Pytagore đảo) NH NQ 

Mà NH // MP (cách dựng)

MP NQ