CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH

BÀI 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Một người đi xe máy từ A đến B cách A 60 km. Khi từ B trở về A do trời mưa nên người đó giảm vận tốc bé hơn vận tốc khi đi là 10 km/h do đó thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi?

Giải:

Gọi vận tốc lúc đi là x(km/h). ĐK: x >10

Khi đó vận tốc lúc về là x -10 (km/h)

Thời gian lúc đi là    (giờ)

Thời gian lúc về là    (giờ)          

Đổi: 30 ph = h

Theo đề bài ta có phương trình  

                           120x – 120(x – 10) = x(x – 10)

                           x = 40 (TMĐK)

Vậy vận tốc lúc đi của xe máy là 40 km/giờ.

Câu 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h rồi quay về A với vận tốc 50 km/h. Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 48 phút. Tính quãng đường AB.

Giải: 

Đổi  48 phút = giờ = giờ

Gọi x (km) là Quãng đường AB (đk x > 0).

Thời gian lượt đi của ô tô : (h).

Thời gian lượt về của ô tô : (h).

Dựa vào, Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về là 48 phút.

Nên, ta có phương trình 

t về – t đi  =

– =

⇔  =

⇔  x = 240 km.

Vậy quãng đường AB là 240 km.

Câu 3: Một xe ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50km/giờ, rồi quay về A với vận tốc 40km/giờ. Cả đi và về mất thời gian là 5 giờ 24 phút. Tính chiều dài quãng đường AB. 

Giải: 

Đổi  5 giờ 24 phút = giờ

Gọi x (km) là Quãng đường AB (đk  x > 0).

Thời gian lượt đi của ô tô: (h).

Thời gian lượt về của ô tô: (h).

Dựa vào, Cả đi và về mất thời gian là 5 giờ 24 phút.

Nên, ta có phương trình:

t về + t đi =

+ =

⇔ =

⇔  x = 120 km.

Vậy quãng đường AB là 120 km.

Câu 4: Một người đi xe máy từ A đến B với  vân tốc trung bình 30 km/h. Khi  đến B người đó nghỉ 20 phút  rồi quay trở về A  với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB,  biết thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút.

Giải:

Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km) (x > 0)

Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là (h) 

Thời gian người đi xe máy đi từ B đến A là (h)

Vì người đi xe máy nghỉ tại B 20 phút và tổng thời gian cả đi và về là là 5 giờ 50 phút do đó ta có phương trình

+ + = 5

Giải PTBN ta được x = 75.

Vậy độ dài quãng đường AB là 75 km/h.

Câu 5: Một  ô tô và một xe máy cùng xuất phát từ A để đi đến B . Do vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 15 km/h nên ô tô đến B trước xe máy 40 phút. Biết quảng đường AB dài 120 km. Tính vận tốc của mỗi xe?

Giải:

Gọi vận tốc xe máy là x (km/h) ĐK : x >0

Khi đó vận tốc ô tô là x + 15 (km/h)

Thời gian xe máy đi hết là :  (giờ)

Thời gian ô tô đi hết là (giờ)

Theo đề bài ta có phương trình – =               (đổi 40 phút = h)

360 (x + 15) – 360x = 2x (x + 15)

x = 45 (TMĐK) 

Vậy vận tốc xe máy là 45km/h; vận tốc ô tô là 60km/h

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Một Ôtô đi từ Lạng Sơn đến Hà Nội. Sau khi đi được 43km nó dừng lại 40 phút, để về  Hà nội kịp giờ đã quy định, Ôtô phải đi với vận tốc 1,2 vận tốc cũ.  Tính vận tốc trước biết rằng quãng đường Hà nội- Lạng Sơn dài 163km.

Giải:

Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là km/h (x>0)

Vận tốc lúc sau là km/h

Thời gian đi quãng đường đầu là: h

Thời gian đi quãng đường sau là: h

Theo bài ra ta có phương trình

Giải phương trình ta được (tmđk)

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 30 km/h.

Câu 2: Hai Ô tô cùng khởi hành từ hai bến cách nhau 175 km để gặp nhau. Xe 1 đi sớm hơn xe 2 là 1giờ 30 phút  với vận tốc 30kn/h. Vận tốc của xe 2 là 35km/h. Hỏi sau mấy giờ hai xe gặp nhau?

Giải:

Gọi thời gian đi của xe 2 là   (giờ) (x > 0)

Thời gian đi của xe 1 là   (giờ)

Quãng đường xe 2 đi là:   km

Quãng đường xe 1 đi là: km

Vì 2 bến cách nhau 175 km nên ta có phương trình:  

Giải phương trình ta được (tmđk)

Vậy sau 2 giờ xe 2 gặp xe 1.

Câu 3: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A là 20km. 

 Hỏi vận tốc của thuyền? Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

Giải:

Gọi vận tốc của thuyền là ( km/h)

Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h)

Thời gian thuyền đi là:

Thời gian ca nô đi là:

Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20' và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình 

Giải phương trình ta được (không thỏa mãn) ; (tmđk)

Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

Câu 4: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị.  Tìm hai số đó.

Giải:

Gọi số bé là  

Số lớn là 

Chia số bé cho 7 ta được thương là:

Chia số lớn cho 5 ta được thương là:     

Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được  

Vậy số bé là 28.

Số lớn là: 28 +12 = 40.

Câu 5: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ.  Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.

Giải:

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là   (km/h) (x>0)

Vận tốc người đi xe máy là: km/h

Thời gian người đi xe đạp đi là: h

Thời gian người đi xe máy đi là: h

Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình   

Giải phương trình ta được (tmđk)

Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h.

Câu 6: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h.  

Giải:

Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).

Vận tốc của ô tô là: (km/h).

Quãng đường ca nô đi là: (km).

Quãng đường ô tô đi là (km).

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được  (thỏa mãn đk).

Vậy vận tốc ca nô là 18 km/h. Vận tốc ô tô là (km/h).

Câu 7: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.

Giải:

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là: km/h

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: km/h

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: h

Thời gian tàu đi ngược dòng là: h

Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20 phút  = h nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được (loại) (tmđk) . 

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h    

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bằng nhau. Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện. 

Giải:

Gọi số sách lúc đầu ở thư viện I là x (cuốn), x nguyên, dương.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện I là: (cuốn)

Sau khi chuyển số sách ở thư viện II là:

                         (cuốn)  

Vì sau khi chuyển số sách 2 thư viện bằng nhau nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số sách lúc đầu ở thư viện I là 10500 cuốn.

Số sách lúc đầu ở thư viện II là: cuốn.

Câu 2: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.

Giải:

Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.

Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là (tuổi).

Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là (tuổi).

 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là (tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

Giải phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là 46 tuổi.

Số tuổi hiện nay của người thứ hai là tuổi.

Câu 3: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144. Do đó, người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi.  Hỏi phòng họp lúc đầu có mấy dãy ghế?

Giải:

Gọi số dãy ghế lúc đầu là  x (dãy), x nguyên dương.

dãy ghế sau khi thêm là (dãy).

Số ghế của một dãy lúc đầu là (ghế).

Số ghế của một dãy sau khi thêm là (ghế).

Vì mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được (thỏa mãn đk)

Vậy phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.     

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11.  Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.

Giải:

Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.

Số công nhân xí nghiệp II trước kia là (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: (công nhân).

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình: 

Giải phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là: công nhân.

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là: công nhân.

Câu 2: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12km/h. Sau khi đi được quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1giờ 40 phút.  Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Giải:

Đây là dạng toán chuyển động quãng đường của chuyển động, có thay đổi vận tốc và đến sớm, có nghỉ. Bài yêu cầu tính quãng đường AB thì gọi ngay quãng đường AB là x km Chuyển động của người đi xê đạp sảy ra mấy trường hợp sau

+ Lúc đầu đi quãng đường bằng xe đạp.

+ Sau đó xe đạp hỏng, chờ ô tô (đây là thời gian nghỉ)

+ Tiếp đó người đó lại đi ô tô ở quãng đường sau.

+ Vì thế đến sớm hơn so với dự định. 

- Công thức lập phương trình:

                                     tdự định = tđi + tnghỉ + tđến sớm 

- Phương trình là 

Đáp số: km.