LUYỆN TẬP CHUNG (1)

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hai tam giác đồng dạng như hình. Độ dài của DE là bao nhiêu?

Giải: 

Tam giác FED đồng dạng với tam giác ABC nên

⇒ ⇒ ED = 10,8 × = 10,8 × 1,25 = 13,5

Câu 2: Cho hai tam giác đồng dạng như hình. Độ dài của AC là bao nhiêu?

Giải:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDF nên

⇒  ⇒ AC = 5,6 × = 5,6 × 0,75 = 4,2 

Câu 3: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Nhìn vào hình vẽ hãy viết các cặp góc bằng nhau. Chứng minh  

Giải:

Các cặp góc bằng nhau

Suy ra

Câu 4: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNQ biết AB = 8 cm, BC = 4 cm, AC = 10 cm, MN = 2 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔMNQ.

Giải: 

ΔABC  ΔMNQ

Mà AB = 8 cm, BC = 4 cm, AC = 10 cm, MN = 2 cm nên 

Câu 5: Cho hình vẽ dưới đây với OA = 5cm, OB = 16cm, OC = 8cm, OD = 10cm.

Chứng minh tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD.

Giải:

Xét hai tam giác OCB và ODA, ta có

Góc O chung

Vậy tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD (c.g.c)

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng .

Giải: 

• Dựng ΔADE  ΔABC theo tỉ số 

Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho 

Suy ra

Khi đó theo định lý Ta - let đảo ta suy ra DE // BC

⇒ ΔADE  ΔABC theo tỉ số  (định lý)

• Dựng ΔA’B’C’ = ΔADE

Vẽ đoạn A’B’ = AD.

Dựng góc 

Trên tia B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’ = DE

Nối C’A’ ta được ΔA’B’C’ = ΔADE (c.g.c)

Suy ra ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔADE theo tỉ số

Mà ΔADE  ΔABC theo tỉ số  

Suy ra ΔA’B’C’  ΔABC theo tỉ số 

Câu 2: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ đồng dạng theo tỉ số  . Biết rằng tổng chu vi của hai tam giác bằng 180 m. Tính chu vi của mỗi tam giác.

Giải:

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ 

Câu 3: Tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm. Tam giác MNP có MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Giải:

Ta có 3 < 5 < 6;  4,5 < 7,5 < 9

Và  

mà  AB = 3cm, BC = 5cm, AC = 6cm, MN = 9cm, NP = 4,5cm, PM = 7,5cm

Suy ra nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác NPM.

Câu 4: Tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm, CD = 18cm, AD = 10cm, BD = 12cm. Chứng minh rằng

1. a) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC.
2. b) ABCD là hình thang.

Giải:

1. a) Ta có nên tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC (c.c.c)
2. b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BDC nên . Hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.

Vậy ABCD là hình thang.

Câu 5: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP và AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm. Tính các cạnh của ΔMNP biết chu vi của tam giác này là 36 cm. 

Giải: 

Câu 6: Cho tam giác ABC có , AB = 4 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC 

Giải:

Kẻ đường phân giác BD của tam giác ABC

Xét ∆ABC và ∆ADB có chung,  

suy ra ∆ABC ∆ADB (g.g) 

⇒ CD = 6 (cm)

∆ABC có BD là đường phân giác nên

Câu 7: Cho tam giác có Các điểm lần lượt trên các cạnh sao cho

1. a) Chứng minh rằng
2. b) M là điểm trên cạnh BC sao cho. Gọi N là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng

Giải:

1. a) Ta có (vì ) (1)

Xét có (định lý Ta - lét đảo )

1. b) Xét có nên

Xét có nên

Từ (1) và (2) và (3) có

Mà (gt), nên 

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình thang có (AB//DC). E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng È đi qua trung điểm của AB và qua trung điểm của DC.

Giải:

Qua F vẽ đường thẳng song song với DC và cắt AD tại I, cắt BC tại K, vì IK//DC,AB//DC ( gt) nên IK//AB. 

FAB có AB//DC nên ( hệ quả của định lý Ta – lét)

hay

có IF//DC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

BDC có FK//DC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

Suy ra IF = FK.

có IF//DN, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

ECN có FK//NC, nên (hệ quả của định lý Ta - lét)

Do đó mà

Câu 2: Cho hình thang ( AB // CD). O là giao điểm của AC và DB. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD ở M. Chứng minh rằng 

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Xét OAB và OCD có

(đối đỉnh)

(so le trong và AB//CD)

Do đó

1. b) Ta có OM // AB (gt), AB//CD (gt) OM // CD

Xét  ABD có OM // AB (hệ quả của định lí Ta – lét)

Xét có OM // CD (hệ quả của định lí Ta – lét)

Do đó

Câu 3 : Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM cắt đường phân giác ở N.

Chứng minh rằng

Giải:

Qua D vẽ đường thẳng song song với BM cắt AC ở E.

Xét có MN//DE

Xét có

Xét ABC có CD là đường phân giác

Mà AM = MC (M là trung điểm của AC)

Do đó

Hay

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng qui tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

1. a) Chứng minh và
2. b) Chứng minh

Giải:

1. a) 
2. b)

Từ các kết quả trên suy ra đpcm

Câu 2: Cho có 3 góc nhọn, các đường cao cắt nhau ở . Chứng minh

1. a)
2. b) và suy ra các hệ thức tương tự
3. c) và suy ra các kết quả tương tự
4. d) và
5. e) và suy ra các kết quả tương tự.
6. f) Điểm H cách đều 3 cạnh của

Giải:

1. a) Vì là đường cao của

Xét và có 

   (1)

Xét và có  

và 

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

1. b) Xét và có 
2. c) Xét và có

Xét và   có

Tương tự ta có  

1. d) Vì

Xét và có

Chứng minh tương tự ta có

1. e) Vì (cùng phụ với)

Xét và có

Tương tự ta có  

1. f) 

là tia phân giác (3)

Lại có (cùng phụ với)

Mà  

là tia phân giác (4)

Từ (3) và (4) suy ra H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED