ÔN TẬP CHƯƠNG X: MỘT SỐ HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIỄN (PHẦN 2)

Bài 1: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 13cm và độ dài cạnh đáy là . Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

 nên

Diện tích đáy là

Vậy

Bài 2: Trong các tấm bìa ở hình sau, em gấp lại tấm bìa nào thì có được một

hình chóp tứ giác đều?

Trả lời:

- Hình a khi gấp lại thì không được một hình chóp đều vì đáy là tứ giác đều nhưng chỉ có ba mặt bên thay vì phải có 4 mặt bên.

- Hình b, c khi gấp lại thì được một hình chóp tứ giác đều.

- Hình d khi gấp lại thì không được một hình chóp tứ giác đều vì ở trên cùng một cạnh đáy có đến 2 mặt bên còn trên một cạnh đáy thì không có mặt bên nào.

Bài 3: Một khối bê tông được làm có dạng hình chóp tam giác đều trong đó cạnh đáy hình chóp là 2m, trung đoạn của hình chóp là 3m. Người ta sơn ba mặt xung quanh của khối bê tông. Cứ mỗi mét vuông sơn cần trả 30 000 đồng (tiền sơn và tiền công). Cần phải trả bao nhiêu tiền khi sơn ba mặt xung quanh ?

Trả lời:

Diện tích xung quanh của khối bê tông là

Cần phải trả số tiền khi sơn ba mặt xung quanh là 9. 30000 = 270000 (đồng).

Bài 4: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, . Hãy tính thể tích của khối chóp đó..

Trả lời:

Kẻ SH ⊥ (ABC) . Đường thẳng AH cắt BC tại I.

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên H là trọng tâm của ΔABC.

Do đó

Vậy

Bài 5: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều biết độ dài cạnh đáy bằng 6cm và độ dài cạnh bên bằng

Trả lời:

Ta có . Suy ra  

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông EFC ta có

Diện tích tứ giác đáy

Thể tích hình chóp

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có đáy là hình vuông cạnh 2cm. Các mặt bên là các tam giác cân có đường cao bằng 7cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD.

Trả lời:

Diện tích đáy

Diện tích xung quanh là

Diện tích toàn phần là 

Bài 7: Một tấm bìa hình vuông PQRS cạnh 8cm, tâm O, các trục đối xứng IJ, KH. Gọi A, B, C, D là các trung điểm các đoạn thẳng OI, OH, OJ, OK. Cắt bỏ bốn tam giác PAQ, QBR, RCS và SDP (phần tô màu) và gấp theo các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA ta được hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính diện tích xung quanh hình chóp có được.

Trả lời:

Diện tích xung quanh của hình chóp thì bằng bốn lần diện tích tam giác PAD.

Mà:

Vậy diện tích xung quanh hình chóp có được là :  

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 8cm và độ dài cạnh bên bằng 5cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Trả lời:

Trong tam giác vuông SHB, theo pytago ta có

Diện tích đáy là 

Diện tích xung quanh hình chóp là

Diện tích toàn phần hình chóp

Bài 9: Cho hình khối bên (với kích thước có trong hình vẽ) .

Biết rằng hình khối được tạo bởi 3 hình chóp tam giác đều biết chiều cao của 3 hình chóp tam giác này đều bằng nhau và diện tích đáy là  35cm .

Tính thể tích của hình khối bên .

Trả lời:

Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là: 30 : 2 = 15 (cm).

Thể tích của hình khối bên là:

Bài 10: Một kim tự tháp có dạng là một hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 320m², các mặt bên là các tam giác đều. Biết đường cao của một mặt bên là 20m. Hãy tính cạnh của đáy.

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy là

Do tất cả các mặt bên là tam giác đều nên cạnh của các mặt bên cũng bằng

Diện tích một mặt bên là

Khi đó diện tích xung quanh của kim tự tháp là

Theo đề bài ta có

Bài 11: Tính thể tích hình chóp tam giác đều biết độ dài cạnh bên bằng  và cạnh bên đáy 3cm.

Trả lời:

Gọi H là trọng tâm tam giác  , HC cắt AB tại D, ta có

Tam giác   vuông tại D, theo định lí Pytago, ta có

 và

Tam giác SHC vuông tại H, ta có

Thể tích của hình chóp đều là

Bài 12: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có trung đoạn bằng 5cm và diện tích xung quanh bằng

Trả lời:

Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a cm, trung đoạn là 5cm:

   Hay  

Ta có

Ta có  (vì  là đường trung bình của tam giác ABC, tam giác   có cạnh  )

Áp dụng định lí pytago trong tam giác vuông   ta có

Thể tích hình chóp

Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm. Thể tích hình chóp gần nhất với giá trị nào?

Trả lời:

Diện tích đáy

Xem tam giác ABC có:

Tam giác SOA vuông tại O có

Vậy

Bài 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp.

Trả lời:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi N là trung điểm của BC

Hình nón ngoại tiếp hình chóp có chiều cao là

SH = 2a, bán kính đáy là

Suy ra đường sinh

Diện tích xung quanh là

Bài 15: Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh rằng mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện, mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện.

Trả lời:

S.ABC là hình chóp đều ⇒ △ABC là tam giác đều ⇒ SA = SB = SC.

Do đó khi ta vẽ SH ⊥ (ABC)

⇒ H là trọng tâm của △ABC đều và có AH ⊥ BC.

Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ SA ⊥ BC

Chứng minh tương tự ta được SB ⊥ AC; SC ⊥ AB.

Vì BC ⊥ AH và BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH)

Chứng minh tương tự ta có CA ⊥ (SBH) và AB ⊥ (SCH).

Bài 16: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng  và chiều cao h = 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là

Trả lời:

Gọi O là tâm của tam giác ABC

suy ra ;

Trong tam giác vuông SAO, áp dụng định lí Pytago ta có 

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

suy ra IS = IA = IB = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của SA, ta có tam giác SHI đồng dạng với tam giác SOA nên 

Vậy diện tích mặt cầu .

Bài 17: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Trả lời:

Kẻ  thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Mà

Suy ra

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng   diện tích toàn phần. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông cân.

Trả lời:

Hình chóp tứ giác đều  có đáy là hình vuông, các cạnh bên là các tam giác cân tại S (1)

Gọi a là độ dài cạnh đáy, d là trung đoạn của hình chóp

Ta có ;

Mặt khác

 Gọi G là trung điểm AB   suy ra

Ta có SG là trung đoạn hình chóp

Vậy trong tam giác  có  và  nên  là tam giác vuông cân tại G    (2)

Tương tự, ta có   (3)

Từ (2), (3) suy ra   (4)

Từ (1), (4) suy ra  vuông cân tại S

Tương tự ta chứng minh được các cạnh bên của hình chóp là tam giác vuông cân.

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm  sao cho . Mặt phẳng qua cắt SD tại

Chứng minh rằng

Trả lời:

Ta có  

Cộng (1) với (2) ta có

 (3)

Tương tự ta có  

và

Cộng (4) với (5) ta có

Từ (3) và (6) ta có

Bài 20: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều biết cạnh đáy bằng 10cm, cạnh bên bằng 13cm.    

Trả lời:

Tam giác BCA cân tại S có  tại I, theo Pytago ta có

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh là  nên chiều cao tam giác đều là

.

 là hình chóp đều nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác, ta có  và

Trong tam giác  vuông tại H, theo định lí Pytago ta có

Diện tích đáy là

Vậy diện tích toàn phần của hình chóp là