ÔN TẬP CHƯƠNG VII: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC NHẤT (PHẦN 4)

Bài 1: Cho hàm số  (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d).

1. a) Tìm m để (d) đi qua điểm .
2. b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: .

Trả lời:

1. a) Ta có (d) đi qua điểm .
2. b) Ta có .

Bài 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A, sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô cũng chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A là 20km.

Hỏi vận tốc của thuyền? Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h.

Trả lời:

Gọi vận tốc của thuyền là  ( km/h)

Vận tốc của ca nô là x = 12 (km/h)

Thời gian thuyền đi là:

Thời gian ca nô đi là:

Vì ca nô khởi hành sau thuyền 5h20' và đuổi kịp thuyền nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được  (không thỏa mãn) ;  (tmđk)

Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h.

Bài 3: Cho hai số thực x, y sao cho mỗi giá trị  tương ứng với y thỏa mãn  . Hỏi quy tắc đặt tương ứng x với y nêu trên có phải là một hàm số không?

Trả lời:

Ta có với  .

Như vậy với một giá trị  được đặt tương ứng với 2 giá trị y phân biệt nên quy tắc đã cho không phải là một hàm số.

Bài 4: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau

1. a)
2. b)

Trả lời:

1. a) Với ta có a = 3 > 0

⇒ Hàm số đã cho đồng biến trên R.

1. b) Với ta có a = -2 < 0

⇒ Hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Bài 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời:

Ta có bảng sau:

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số:

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .

Bài 6: Cho các hàm số

Vẽ đồ thị các hàm số trên trên cùng hệ trục tọa độ.

Trả lời:

+ Xét hàm số y = 2x – 2

Với x = 0 ⇒ y = -2.

Với y = 0 ⇒ x = 1.

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; -2) và (1 ; 0).

+ Xét hàm số y = x – 2

Với x = 0 ⇒ y = -2

Với y = 0 ⇒ x =

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; -2) và (;0) .

+ Xét hàm số y = x + 3

Với x = 0 ⇒ y = 3.

Với y = 0 ⇒ x = 9.

Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua (0 ; 3) và (9 ; 0).

Bài 7: Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 60km. Hai người đi xe đạp cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B với vận tốc bằng nhau. Sauk hi đi được 1 giờ thì xe của người thứ nhất bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, còn người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc ban đầu. Sau khi sửa xe xong, người thứ nhất đi với vận tốc nhanh hơn trước 4km/h nên đã đến B cùng lúc với người thứ hai. Tính vận tốc hai người đi lúc đầu

Trả lời:

Gọi vận tốc hai người lúc đầu đi là x (km/h), (x > 10)

Thời gian đi từ A đến B của người thứ hai là:

Quãng đường người thứ nhất đi được trong 1h đầu là: x km

Quãng đường còn lại là: 60 – x (km)

Tời gian người thứ nhất đi quãng đường còn lại là:

Theo bài ta có phương trình:

Vậy vận tốc của hai người là 20 km/h

Bài 8: Một người đi  từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai người gặp  nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.

Trả lời:

Gọi vận tốc của người đi từ A  là x ( km/h), (x> 0).

Thời gian người đi từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là  (h).

Vận tốc của người đi từ B  là x + 4 ( km/h).

Thời gian người đi từ B, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là:  (h).

Vì hai người gặp nhau tại C, người thứ hai đi sau người thứ nhất 1 giờ do đó ta có phương trình =1

Giải PTBH: x² - 2x – 168 = 0    ta được x= 14 (TM).

Vậy thời gian người đi từ A từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 3 giờ.

       thời gian người đi từ B từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là: 2 giờ

Bài 9: Xác định đường thẳng

2. a) Xác định phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A(−2; 3) và có hệ số góc bằng −2.
3. b) Xác định hàm số , biết:

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 3) và B(-2; 6)

Trả lời:

2. a) Xác định phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A(−2; 3) và có hệ số góc bằng −2.

Gọi phương trình đường thẳng d là:

Vì d có hệ số góc là -2 nên a = -2. Nên (d):

Vì d qua A(-2; 3), nên thay tọa độ điểm A vào d ta có:

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là:

1. b) Xác định hàm số , biết:

+) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

* Ta có: Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điếm có tung độ bằng -3, suy ra toạ độ giao điểm là  thuộc đồ thị hàm số =>

* Ta có: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2, suy ra toạ độ giao điểm là N(-2; 0) thuộc đồ thị hàm số =>  

Vậy hàm số cần tìm là:

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 3) và B(-2; 6)

Thay tọa độ điểm A và B vào hàm số, ta có:

* A(1; 3) =>

* B(-2; 6) =>

Thay  vào  , ta được: a = -1

=> b = 4

Vậy, hàm số cần tìm là:

Bài 10: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua gốc tọa độ, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng , cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng  thì đường thẳng đó có phương trình là:

Trả lời:

Gọi đường thẳng cần xác định là y = mx + n.

Đường thẳng đi qua điểm (0; b) nên b = m.0 + n ⇒ n = b

Đường thẳng y = mx + b đi qua điểm (a; 0) nên 0 = m.a + b ⇒

Đường thẳng cần xác định có phương trình là y =  hay

Tức là:

Bài 11: Một  Ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung  bình  40 km/ h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi  còn 60 km nữa thì được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường  còn lại,  do đó Ô tô đến B sớm  hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.

Trả lời:

Gọi chiều dài của quãng đường AB là x ( km).(x> 0). (Ta chỉ xét quãng đường BC khi vận tốc thay đổi)

Ta có thời gian dự định đi hết quãng đường BC là  (h)

Thời gian Ô tô thực đi trên quãng đường BC sau khi tăng vận tốc thêm 10 km/h là

Vì sau khi người lái xe tăng thêm vân tốc 10 km/h trên quãng đường  còn lại,  do đó Ô tô đến B sớm  hơn 1 giờ so với dự định do đó ta có phương trình

= 1

Giải PTBN ta được x = 280.

Vậy quãng đường AB dài 280 km.

Bài 12: Cho Parabol và đường thẳng với a là tham số.

1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳngvà parabolkhi 
2. Tìm tất cả các gía trị của a để đường thẳngcắt paraboltại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn.

Trả lời:

1) Với ta có phương trình đường thẳng là

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Từ đó ta tìm được hai giao điểm là và.

Vậy khi thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và.

2) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt hay

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là thì theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài:

Thay vào ta được:

*Với thì  ( không thỏa mãn).

*Với thì

Ta chọn nghiệm

Vậy là giá trị cần tìm.

Bài 13: Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm² , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước  thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm².

Trả lời:

Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).

Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là   (cm²) .

Theo bài ra ta có pt   (1)

Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích HCN  là .

Theo bài ra ta có pt  

                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt  

Ta có   > 0  

Phương trình có hai nghiệm  

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)

Bài 14: Giải phương trình sau

1. a)
2. b)
3. c)

Trả lời:

1. a)

. Tập nghiệm

1. b)

. Tập nghiệm

1. c)

. Tập nghiệm

Bài 15: Cho hình vẽ dưới

1. a) Hãy xác định hàm số có đồ thị là đường thẳng d đã cho đi qua A và B.
2. b) Tính khoảng cách OH từ O đến đường thẳng d.

Trả lời:

1. a) Hàm số cần tìm có dạng y = ax + b.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại A(0; 2) ⇒ 2 = 0.a + b ⇒ b = 2.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại B(-5; 0) ⇒ 0 = -5a + b ⇒ a = = .

Vậy hàm số cần tìm là y = x + 2 .

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

1. 
   b)

Nhận thấy tam giác OAB vuông tại O, OH ⊥ AB.

OA = 2; OB = 5.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng d là

Bài 16: Xác định các giá trị nguyên a, b biết rằng đường thẳng  đi qua điểm, cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên dương.

Trả lời:

Vì đường thẳng đi qua nên  (1)

Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương nên

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có tung độ là một số nguyên dương nên

Đặt thay vào (1) ta có:

Từ đó ta lập bảng tính giá tị của a,k như sau:

Từ đó:

So sánh với điều kiện (2), (3) ta được kết quả

Bài 17: Cho các số thực . Chứng minh rằng:

Trả lời:

Ta coi  như là các tham số,  là ẩn số  thì bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại như sau:

.                                                

 Để chứng minh  ta chỉ cần chứng minh: . Thật vậy ta có:

+  với thỏa  mãn: .

+  với thỏa  mãn: .

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  hoặc các hoán vị của bộ số trên.

Bài 18: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4. Nay xí nghiệp 1 thêm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân. Do đó số công nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11.  Tính số công nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.

Trả lời:

Gọi số công nhân xí nghiệp I trước kia là x (công nhân), x nguyên, dương.

Số công nhân xí nghiệp II trước kia là  (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là:  (công nhân).

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:  (công nhân).

Vì số công nhân của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được  (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số công nhân hiện nay của xí nghiệp I là:  công nhân.

Số công nhân hiện nay của xí nghiệp II là:  công nhân.

Bài 19: Cho các số thực không âm  thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: .

Trả lời:

Không mất tính tổng quát ta giả sử .

Ta có . .

Ta coi  là tham số  là ẩn số thì  là hàm số bậc nhất của  với .

 suy ra hàm số  luôn đồng biến .

Từ đó suy ra

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Bài 20: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ, cho điểm

Đường thẳng đi qua M và không trùng với Oy. Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn.

Trả lời:

Vì đi qua và không trùng với Oy nên có dạng

Vì nên suy ra

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Vì phương trình (*) có hệ số nên (*) có 2 nghiệm phân biệt là

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Vì suy ra:

Ta có:

Lại có

Vậy hay vuông tại O.