ÔN TẬP CHƯƠNG VIII: MỞ ĐẦU VỀ TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ (PHẦN 2)

Bài 1: Một nhóm học sinh quốc tế gồm 9 học sinh đến từ các nước: Việt Nam, Ấn Độ, Ai Cập, Brasil, Canada, Tây Ban Nha, Đức, Pháp, Nam Phi; mỗi nước chỉ có đúng một học sinh. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm học sinh quốc tế đó.

1. a) Tìm số phần tử của tập hợp G gồm các kết quả có thể xảy ra đối với học sinh được chọn ra. Sau đó tính xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Á”
2. b) Tính xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Âu”
3. c) Tính xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Mỹ”

Trả lời:

1. a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với học sinh được chọn ra là:

G = {Việt Nam; Ấn Độ; Ai Cập; Brasil; Canada; Tây Ban Nha; Đức; Pháp; Nam Phi}.

Số phần tử của tập hợp G bằng 9.

Trong 9 đất nước trên có các đất nước thuộc châu Á là: Việt Nam và Ấn Độ.

Do đó có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Á” là: Việt Nam; Ấn Độ.

Khi đó xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Á” bằng 

1. b) Trong 9 đất nước trên có các đất nước thuộc châu Âu là: Tây Ban Nha, Đức, Pháp.

Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Âu” là: Tây Ban Nha, Đức, Pháp.

Khi đó xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Âu” bằng 

1. c) Trong 9 đất nước trên có các đất nước thuộc châu Mỹ là: Brasil, Canada.

Do đó có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Mỹ” là: Brasil, Canada.

Khi đó xác suất của biến cố “Học sinh được chọn ra đến từ châu Mỹ” bằng 

Bài 2: Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng 11 là

Trả lời:

Gọi Z là biến cố “Gieo hai con súc sắc trong đó tổng số chấm trên hai mặt bẳng 11”.

Có 36 kết quả có thể, đó là (1; 1), (1; 2),…, (6; 6). Do 36 kết quả này đều như nhau nên các kết quả này là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố Z đó là (5; 6), (6; 5).

Do đó có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố Z. Vậy xác suất của biến cố Z là

Bài 3: Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100

1. a) Có bao nhiêu cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên như vậy ?
2. b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau :

• “Số tự nhiên được viết ra là số chẵn”
• “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”
• “Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên”.

Trả lời:

1. a) Số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100 là 10; 11; 12; …….; 99

Có 90 cách viết ngẫu nhiên một số tự nhiên như vậy.

1. b) - Có 45 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số chẵn” đó là 12; 14; 16; 18; 22;…….; 92; 94; 96; 98

Vì thế xác suất của biến cố đó là .

- Có 45 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục” đó là 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

Vì thế xác suất của biến cố đó là .

- Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số tự nhiên được viết ra là bình phương của một số tự nhiên” đó là 16; 25; 36; 49; 64; 81.

Vì thế xác suất của biến cố đó là   .

Bài 4: Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “ Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt S” trong mỗi trường hợp sau :

1. a) Tung một đồng xu 40 lần liên tiếp , có 22 lần xuất hiện mặt N.
2. b) Tung một đồng xu 15 lần liên tiếp , có 10 lần xuất hiện mặt S.
3. a) Tung một đồng xu 24 lần liên tiếp , có 12 lần xuất hiện mặt N.
4. b) Tung một đồng xu 12 lần liên tiếp , có 8 lần xuất hiện mặt S.

Trả lời:

1. a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “ Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt S” là:
2. b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “ Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt S” là:
3. c) Xác suất thực nghiệm của biến cố “ Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt S” là:
4. d) Xác suất thực nghiệm của biến cố “ Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt S” là:

Bài 5: Một hộp đựng 5 thẻ được đánh số 3, 5, 7, 11, 13. 

Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau :

1. a) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5”.
2. b) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1”.

Trả lời:

1. a) Có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5” đó là 5

Vì thế xác suất của biến cố đó là  .

1. b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1” đó là 7; 13

Vì thế xác suất của biến cố đó là  .

Bài 6: Gieo một con súc sắc 2 lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả 2 lần là?

Trả lời:

Gọi Y là biến cố “Gieo con súc sắc hai lần trong đó mặt số 2 xuất hiện cả hai lần”.

Có 36 kết quả có thể, đó là (1; 1), (1; 2),…, (6; 6). Do 36 kết quả này đều như nhau nên các kết quả này là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố Y đó là (2; 2).

Do đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố Y. Vậy xác suất của biến cố Y là

Bài 7: Một cơ quan quản lí đã thống kê được số lượt khách đến tham quan sở thủ trong một tuần như sau

Tính xác suất thực nghiệm của biến cố Y: "Khách đến tham quan sở thú trong ngày chủ nhật".

Trả lời:

Trong một tuần tổng số lượng khách đến tham quan sở thú là:

95 + 104 + 73 + 78 + 110 + 240 + 300 = 1000

Ta quan sát thấy trong tuần ở sở thú biến cố Y xuất hiện 300 lần.

Do đó xác suất thực nghiệm của biến cố Y là .

Bài 8: Một hộp đựng 18 viên bi cùng khối lượng và kích thước, với hai màu đỏ và vàng, trong đó số viên bi màu vàng gấp đôi so viên bi màu đỏ. Bình lấy ngẫu nhiên một viên từ trong hộp. Tính xác suất để Bình lấy được viên bi màu vàng.

Trả lời:

Gọi x là số viên bi màu đỏ. Khi đó số viên bi màu vàng là 2x.

Theo đề bài, ta có x + 2x = 18, hay 3x = 18, tức là x = 6.

Do đó, số viên bi màu vàng là 12.

Do Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp có 18 viên nên có 18 kết quả có thể và các kết quả đó là đồng khả năng.

Vậy xác suất để Bình lất được viên bi màu vàng là .

Bài 9: Ở một trang trại nuôi gà, người ta nhận thấy xác suất một quả trứng gà có cân nặng trên 42g là 0,4. Hãy ước lượng xem trong một lô 2000 quả trứng gà của trang trại có khoảng bao nhiêu quả trứng có cân nặng trên 42g.

Trả lời:

Ta có xác suất một quả trứng gà có cân nặng trên 42g là

Số quả trứng có cân nặng trên 42g là  (quả trứng)

Vậy ước lượng có khoảng 800 quả trứng trong một lô 2000 quả trứng gà của trang trại có cân nặng trên 42g.

Bài 10: Bác Hà còn một miếng đất trống để trồng cây gồm có 8 loại cây cho bác trồng: Cây ngô; Cây chè; Cây cao cao; Cây cao su; Cây sắn; Cây cà phê; Cây điều; Cây củ cải đường. Mảnh đất này chỉ trồng đúng 1 loại cây. Chọn ra ngẫu nhiên một cây trong các cây trên.

Tính xác suất mỗi biến cố sau:

1. a) “Cây được chọn ra là cây lương thực”.
2. b) “Cây được chọn ra là cây công nghiệp”.

Trả lời:

1. a) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Cây được chọn ra là cây lương thực” đó là cây ngô; cây sắn.

Vì thế xác suất của biến cố đó là  .

1. b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Cây được chọn ra là cây công nghiệp” đó là cây chè; cây cao cao; cây cao su; cây cà phê; cây điều; cây củ cải đường.

Vì thế xác suất của biến cố đó là  .

Bài 11: Kiểm tra ngẫu nhiên 1000 cái áo do nhà máy X sản xuất thì có 13 cái không đạt chất lượng. Hãy ước lượng xác suất của biến cố E  "Một cái áo của nhà máy X sản xuất không đạt chất lượng".

Trả lời:

Kiểm tra 1000 cái áo thì có 13 cái không đạt chất lượng.

Do đó số lần xuất hiện của biến cố E là 13 lần

Vậy xác suất thực nghiệm của biến E là .

Vậy xác suất của biến cố E được ước lượng là

Bài 12: Trong một chiếc hộp có 15 tấm thẻ giống nhau được đánh số 10 ; 11 ;… ; 24. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp. Tính xác suất để không rút trúng thẻ ghi số nguyên tố.

Trả lời:

Gọi B là biến cố “Không rút trúng thẻ ghi số nguyên tố”.

Có 15 kết quả có thể là 10; 11;…; 24. Do 15 thẻ ghi số này đều như nhau nên các kết quả này là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24.

Do đó có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố B. Vậy xác suất của biến cố B là

Bài 13: Xếp 4 viên bi xanh và 5 bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Không có hai viên bi trắng xếp liền nhau”

Trả lời:

Xếp các viên bi đã cho được chia thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xếp 5 viên bi trắng thành hàng ngang ta có 5! cách xếp.

Giai đoạn 2: Ứng với 5 viên bi trắng đã được xếp vị trí ta xếp 4 viên bi xanh vào bốn khoảng cách được tạo bởi hai bi trắng có 4! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp các viên bi thành một hàng ngang là

5!.4! = 2 880 cách

Vậy có tất cả 2 880 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Bài 14: Một đội thanh niên tình nguyện gồm 11 thành viên đến từ các tỉnh , TP: Kon Tum; Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Gia Lai; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; Đăk Lăk ; Đăk Nông; Lâm Đồng; TP Hồ Chí Minh, mỗi tỉnh ,TP chỉ có đúng một thành viên trong đội. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của đội tình nguyện đó.

1. a) Gọi K là tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với thành viên được chọn. Tính số phần tử của tập hợp K.
2. b) Tính xác suất của mỗi biến cố sau :

• “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Tây Nguyên”.
• “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Đông Nam Bộ”.

Trả lời:

1. a) Tập hợp K gồm các kết quả xảy ra đối với thành viên được chọn là:

K = {Kon Tum; Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Gia Lai; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; Đăk Lăk ; Đăk Nông; Lâm Đồng; TP Hồ Chí Minh}

Số phần tử của tập hợp K là 11.

1. b) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Tây Nguyên” là Kon Tum; Gia Lai ;Đăk Lăk ; Đăk Nông; Lâm Đồng.

Vì thế xác suất của biến cố đó là .

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Thành viên được chọn ra đến từ vùng Đông Nam Bộ” là  Bình Phước; Tây Ninh; Bình Dương; Bà Rịa – Vũng Tàu; Đồng Nai; TP Hồ Chí Minh.

Vì thế xác suất của biến cố đó là .

Cho bài toán: Xếp 4 viên bi xanh và 5 bi trắng có các kích thước khác nhau thành một hàng ngang một cách ngẫu nhiên.

Sử dụng bài toán trên để trả lời 2 câu hỏi sau (Bài 15 và 16)

Bài 15: Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Không có hai viên bi trắng xếp liền nhau”

Trả lời:

Xếp các viên bi đã cho được chia thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xếp 5 viên bi trắng thành hàng ngang ta có 5! cách xếp.

Giai đoạn 2: Ứng với 5 viên bi trắng đã được xếp vị trí ta xếp 4 viên bi xanh vào bốn khoảng cách được tạo bởi hai bi trắng có 4! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp các viên bi thành một hàng ngang là

5!.4! = 2 880 cách

Vậy có tất cả 2 880 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Bài 16: Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Bốn viên bị xanh được xếp liền nhau”.

Trả lời:

Xếp các viên bi đã cho được chia thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Xếp 4 viên bi xanh thành hàng ngang ta có 4! cách xếp.

Giai đoạn 2: Ứng với 4 viên bi xanh đã được xếp vị trí ta coi 4 viên bi xanh là một viên bi, cộng với 5 viên bi trắng cần sắp vị trí nghĩa là ta cần xếp 6 viên bi thành một hàng có 6! cách xếp.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp các viên bi thành một hàng ngang là

6!.4! = 17 280 cách

Vậy có tất cả 17 280 kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho.

Bài 17: Bạn Hà sắp 2 quyển sách Toán và 2 quyển sách Vật Lí lên một kệ dài. Xác suất để 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau là

Trả lời:

Gọi A là biến cố “Xếp 2 quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”.

Có 24 kết quả có thể, đó là (T, T, VL, VL); (T, VL, T, VL),…, (VL, VL, T, T). Do bạn Hà xếp 4 quyển sách cùng một lúc lên kệ nên 24 cách xếp này đều có khả năng xuất hiện như nhau nên 24 kết quả này là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là (T, T, VL, VL); (VL, VL, T, T); (T, VL, VL, T); (VL, T, T, VL). Do đó, có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A. Do đó, xác suất của biến cố A là .

Bài 18: Một cung thủ theo dõi và thống kê số điểm mỗi lần bắn mũi tên trúng bia hồng tâm. Sau 50 lần bắn thì thu được kết quả như sau

Gọi A là biến cố "Trong một lần bắn cung thủ bắn được nhiều hơn 6 điểm". Tính xác suất thực nghiệm của biến cố A.

Trả lời:

Trong 50 lần bắn cung thủ theo dõi có 8 lần bắn được 7 điểm, 9 lần bắn được 8 điểm, 9 lần bắn được 9 điểm và 11 lần bắn được 10 điểm.

Do đó, số lần cung thủ bắn được nhiều hơn 6 điểm là 8 + 9 + 9 + 11 = 37 (lần)

Như vậy sau 50 lần bắn, cung thủ thấy biến cố A xảy ra 37 lần.

Vậy xác suất thực nhiệm của biến cố A là .

Bài 19: Một bánh xe hình tròn được chia thành 12 hình quạt như nhau, trong đó có 2 hình quạt ghi 100 điểm, 2 hình quạt ghi 200 điểm, 2 hình quạt ghi 300 điểm, 2 hình quạt ghi 400 điểm, 1 hình quạt ghi 500 điểm, 2 hình quạt ghi 1000 điểm, 1 hình quạt ghi 2000 điểm. Ở mỗi lượt, người chơi quay bánh xe. Mũi tên cố định gắn trên vành bánh xe dừng ở hình quạt nào thì người chơi nhận đc số điểm ghi trên hình quạt đó. Bạn Huệ chơi trò chơi này, tính xác suất để bạn Huệ được ít nhất 500 điểm.

Trả lời:

Gọi G là biến cố “Bạn Huệ được ít nhất 500 điểm”.

Có 12 kết quả có thể chính là 12 hình quạt trên bánh xe. Do 12 hình quạt đều như nhau nên 12 kết quả này là đồng khả năng.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố G là hình quạt 500 điểm, 2 hình quạt 1000 điểm, 1 hình quạt 2000 điểm.

Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố G.

Do đó, xác suất của biến cố G là .

Bài 20: Một tuyển thủ bắn đĩa theo dõi và thống kê số điểm mỗi lượt bắn. Sau 60 lượt bắn thì thu được kết quả như sau

Gọi B là biến cố "Trong một lượt bắn tuyển thủ bắn được ít nhất 8 điểm". Tính xác suất thực nghiệm của biến cố B.

Trả lời:

Trong 60 lần bắn tuyển thủ bắn đĩa theo dõi có 10 lần bắn được 8 điểm, 11 lần bắn được 9 điểm và 12 lần bắn được 10 điểm.

Do đó, số lần tuyển thủ bắn được nhiều ít nhất 8 điểm là 10 + 11 + 12 = 33 (lần)

Như vậy sau 60 lần bắn, tuyển thủ thấy biến cố B xảy ra 33 lần.

Vậy xác suất thực nhiệm của biến cố B là .