ÔN TẬP CHƯƠNG XI: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (PHẦN 4)

Bài 1: Cho theo tỉ số . Tính chu vi của mỗi tam giác biết hiệu chu vi của hai tam giác là 20cm.

Trả lời:

Kí hiệu P(ABC) là chu vi . Vì  theo tỉ số k = , nên:

Từ đo ta được

Bài 2: Cho ÄABC vuông tại A. Lấy D là trung điểm của AB. Từ D kẻ DE vuông góc với BC. Chứng minh rằng:

Trả lời:

Vận dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông, ta có:

=>

Bài 3:

Để đo chiều rộng AB của con sông. Trên một bờ sông bạn bình đóng các đường thẳng BC vuông góc AB, CD vuông góc BC, M nằm trên đường thẳng AD và BC (như hình) biết BM = 30m, MC=10m, CD = 15m. Tính chiều rộng của con sông.

Trả lời:

Do AB ⊥ BC; DC ⊥BC

Trong ΔABM có CD//AB; C ∈ BM; D∈AM

Theo Talet ta có

Vậy chiều rộng con sông là 45m

Bài 4: Cho tam giác ABC, có , đường cao  Chứng minh

1. a)
2. b)

Trả lời:

1. a)
2. b)

Bài 5: Cho ABC có , . Gọi D và E là hai điểm lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho , . Chứng minh

1. a)
2. b)
3. c)

Trả lời:

1. a) Xét tam giác AEB và tam giác ADC có

;

 Mặt khác lại có góc A chung                                           

  (c.g.c)

1. b) Chứng minh tương tự câu a) ta có

  (hai góc tương ứng)

1. c) Theo câu b) ta có

Bài 6: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM cắt đường phân giác  ở N.

Chứng minh rằng

Trả lời:

Qua D vẽ đường thẳng song song với BM cắt AC ở E.

Xét  có MN//DE

Xét  có  

Xét ABC có CD là đường phân giác  

Mà AM = MC (M là trung điểm của AC)

Do đó

Hay

Bài 7: Cho hình thang  ( AB // CD). O là giao điểm của AC và DB. Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD ở M. Chứng minh rằng

1. a)
2. b)

Trả lời:

1. a) Xét OAB và OCD có

 (đối đỉnh)

(so le trong và AB//CD)

Do đó

1. b) Ta có OM // AB (gt), AB//CD (gt) OM // CD

Xét  ABD có OM // AB  (hệ quả của định lí Ta – lét)

Xét  có OM // CD (hệ quả của định lí Ta – lét)

Do đó   

Bài 8: Cho . Trên đường phân giác BE của góc ABC lấy F sao cho: . Gọi I là trung điểm của AF, K là giao điểm của tia EI với AB, M là giao điểm của CK với EB. Chứng minh:

Trả lời:

Suy ra

=>

=>  

Từ đó suy ra:

=>

=>

=>

=>

 vuông tại I suy ra:

Bài 9: Cho hình vẽ bên, trong đó  ,  . Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.

Trả lời:

Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E.

Ta chứng minh được  ,  

Tam giác BCE có  nên ta chứng minh được

Bài 10: Cho  vuông cân ở A;  M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Vẽ đường cao AH của ABC.

1. a) Chứng minh
2. b) Chứng minh

Trả lời:

1. a) vuông cân nên .

Chỉ ra ,

 vuông cân tại  nên  

 vuông cân tại  nên  

1. b) Có ;

 Vì   nên  

(Áp dụng ĐL Pythagore cho  vuông tại H ).

Vậy  

Bài 11: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA, AB lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho AM, BN, CP đồng quy tại O. Qua A và C vẽ các đường thẳng song song với BO cắt CO, OA lần lượt ở E và F.

1. a) Chứng minh và
2. b) Chứng minh

Trả lời:

1. a)
2. b)

Từ các kết quả trên suy ra đpcm

Bài 12: Bóng của một ống khói nhà máy trên mặt đất có độ dài là 36,9m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 1,62m. Tính chiều cao của ống khói.

Trả lời:

Giả sử thanh sắt là A'B', có bóng là A'C'.

Vì ống khói và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và A'B'C' đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm nên tia sáng tạo với mặt đất các góc bằng nhau

Xét tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có

Vậy chiều cao ống khói là 47,83m.

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho  . Qua E vẽ đường thẳng song song với CD, cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N.

a)Tìm các tam giác đồng dạng với ADC và tìm tỉ số đồng dạng.

1. b) Điểm E nằm ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của MN?

Trả lời:

1. a) Tam giác đồng dạng với

* . Tỉ số đồng dạng  

* . Tỉ số đồng dạng  (hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng)

 theo tỉ số đồng dạng

  theo tỉ số đồng dạng

1. b) E là trung điểm của MN thì suy ra

Ta có  (cùng đồng dạng với )

suy ra

Suy ra E là trung điểm của AE

Bài 14: Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây 15m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6m?

Trả lời:

Gọi chiều cao của cây là h = A'C' và cọc tiêu AC = 2m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,6m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 15m, và người cách cọc một khoảng AD = 0,8m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Ta có A’C’ ⊥ A’B, AC ⊥ A’B, DE ⊥ A’B ⇒ A’C’ // AC // DE.

Ta có

 mà AC = 2m, DE = 1,6m nên

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra

⇒ BD = 0,8.4 =3,2m; AB = 5.0,8 = 4m.

⇒ A'B = A'A + AD + DB = 15 + 0,8 + 3,2 = 19m

+

Vậy cây cao 9,5m.

Bài 15: Cho  nhọn (AB > AC) có đường cao , E là điểm tùy ý trên

Chứng minh:  

Trả lời:

Áp dụng định lý Pythagore cho  ;  ; và  vuông tại H có:

 ;  ;  ;  

Vậy  

Vậy  

Bài 16: Cho  cân tại A. Lấy M tùy ý thuộc BC, kẻ MN song song với AB (với N ∈ AC), kẻ MP song song với AC ( với P ∈ AB). Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng  minh rằng .

Trả lời:

Giả sử  . Gọi Q là giao điểm MO và AB ; K là giao điểm CP và MN.

Vì   là hình bình hành nên (1)

Vì ∆ABC cân tại A nên suy ra  cân tại P và  cân tại N.

Do đó  và  kết hợp với

suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra   (c.g.c) ⇒ hay  (Đpcm)

Bài 17: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng  

Trả lời:

Vẽ

Xét ABH và ACE có:

  chung

Suy ra   

(1)

Xét  và  có (so le trong)

Suy ra   (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được

Bài 18: Cho ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho.  Kẻ ;   .

1. a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng. Đối với mỗi cặp, hãy viết các góc bằng nhau và các tỉ số tương ứng.
2. b) Hãy tính chu vi , biết hiệu chu vi của và  là 30cm

Trả lời:

1. a) Các cặp tam giác đồng dạng

 ;    (vì cùng đồng dạng với )

*

 ;

* có

*  có

1. c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

*   theo tỉ số đồng dạng

Do đó:

Mà theo giả thiết

Bài 19: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm². Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Trả lời:

Xét ΔABC có

⇒ ΔABC vuông tại A (Định lý Py – ta – go đảo)

⇒ Diện tích tam giác ABC là 

Theo giả thiết tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC suy ra

(với k là tỉ số đồng dạng).

Lại có tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

⇒ A’B’ = 3.AB = 3.3 = 9 (cm)

B’C’ = 3.BC = 3.5 = 15 (cm)

C’A’ = 3.CA = 3.4 = 12 (cm)

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác A’B’C’ lần lượt là 9cm, 12cm, 15cm.

Bài 20: Tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh.

Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào?

 ,  ,  với  là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1.

Trả lời:

 ,  ,  .

 là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là  nên

Có: .Thay . Ta được; 

Vậy  nên vuông tại  (Định lý Pythagore đảo) .