Bài tập file word Toán 9 cánh diều Bài 2: Từ giác nội tiếp đường tròn

BÀI 2: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

(16 câu)

1. NHẬN BIẾT (4 câu)

Câu 1: Thế nào là tứ giác nội tiếp?

Trả lời:

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó

Câu 2: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng bao nhiều?

Trả lời:

Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối bằng .

Câu 3: Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp được đường tròn? Giải thích.

Trả lời:

Câu 4: Trong các đường tròn sau, đường tròn nào ngoại tiếp tứ giác ? Giải thích.

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (3 câu)

Câu 1: Trong hình vẽ dưới đây, cho .

a) Tính các góc của tứ giác .

b) Tính .

Trả lời:

a) Ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung)

(tứ giác nội tiếp đường tròn )

b) Tứ giác nội tiếp đường tròn nên .

Câu 2: Trong hình vẽ dưới đây, cho .

a) Tính các góc của tứ giác .

b) Tính .

Trả lời:

Câu 3: Cho tứ giác nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong các trườn hợp sau:

a) và .                              b) và .

Trả lời:

3. VẬN DỤNG (7 câu)

Câu 1: Cho tam giác có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao và của tam giác . Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Trả lời:

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Vì là các đường cao của nên .

Xét tứ giác có .

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng ).

b) Chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Gọi  là trung điểm.

Vì là các đường cao của nên

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên 

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên

Từ và suy ra

Vậy tứ giác nội tiếp được đường tròn có tâm là trung điểm.

Câu 2: Cho tam giác nhọn . Đường tròn đường kính cắt lần lượt tại . Đường thẳng cắt tại và đường thẳng cắt tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Trả lời:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

- Xét đường tròn

     (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

     (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

- Xét tứ giác

     (chứng minh trên)

tứ giác có tổng hai góc đối bằng nên tứ giác nội tiếp.

b)  Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Gọi  là trung điểm.

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên  

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên

Từ và suy ra

Vậy tứ giác nội tiếp được đường tròn có tâm là trung điểm.

Câu 3: Cho tứ giác nội tiếp có tam giác là tam giác nhọn. Vẽ các đường cao và của tam giác . Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh .

b) Chứng minh .

c) Chứng minh .

d) Chứng minh .

Trả lời:

a) Chứng minh .

Vì là các đường cao của nên .

Xét tứ giác có .

là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng ).

Tứ giác nội tiếp nên: hay

mà (hai góc kề bù)

do đó

b) Chứng minh .

Tứ giác nội tiếp nên:  

mà (đối đỉnh)

nên

hay

Mặc khác tứ giác nội tiếp đường tròn tâm nên

Do đó

c) Chứng minh .

Ta chứng minh là tứ giác nội tiếp.

Gọi  là trung điểm.

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên  

Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên

Từ và suy ra

Vậy tứ giác nội tiếp được đường tròn có tâm là trung điểm.

Suy ra (góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm )

d) Chứng minh .

Ta có (hai góc phụ nhau)

Hay

Mà ( tứ giác nội tiếp được đường tròn, câu c))

Nên

Suy ra

Câu 4: Cho tam giác vuông tại . Kẻ đường cao và phân giác trong của góc . Phân giác trong góc cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng: .

Trả lời:

Câu 5: Cho điểm thuộc cung nhỏ của đường tròn . Một đường thẳng ở ngoài và vuông góc với ; cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.

Trả lời:

Câu 6: Cho tam giác và đường cao gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp và đi qua trung điểm của .

Trả lời:

Câu 7: Trên các cạnh của hình vuông ta lấy lần lượt các điểm sao cho . Đường thẳng cắt các đường thẳng tương ứng tại các điểm .

a) Chứng minh rằng các tứ giác và nội tiếp.

b) Chứng minh rằng các điểm nằm trên cùng một đường tròn.

Trả lời:

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho đường tròn nội tiếp , tiếp xúc với cạnh lần lượt ở và. Gọi là tâm đường tròn nội tiếp . Các đường phân giác trong của và cắt đường thẳng lần lượt tại và .  Chứng minh .

Trả lời:

Gọi là giao điểm của với cung nhỏ của đường tròn thuộc đường phân giác của trong .

Ta có  (tính chất hai tiếp  tuyến cắt nhau) .                                                                                   

Do (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) cân tại nên .

Mà (do là phân giác nên .

Mặt khác (do là tia phân giác ).

Suy ra , mà là hai đỉnh liên tiếp của tứ giác Tứ giác  nội tiếp (vì cùng thuộc một cung chứa góc).

và có (đối đỉnh);  (cmt)

 (g.g) .

Tương tự (g.g) ;

 (g.g) .

Vậy .

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------