Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 5 Bài tập cuối chương 5

BÀI 5. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 5

Bài 1. Cho ba vectơ a⃗ , b⃗ , c⃗  đều khác vectơ 0⃗ . Các khẳng định sau đúng hay sai?

1. a) Nếu hai vectơ , cùng phương với thì  và  cùng phương.
2. b) Nếu hai vectơ , cùng ngược hướng với thì  và  cùng hướng.

Đáp án:

1. a) Nếu hai vectơ , cùng phương với thì  và  cùng phương.
2. b) Nếu hai vectơ , cùng ngược hướng với thì  và  cùng hướng.

Các khẳng định trên đều đúng.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có  là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

1. Tính độ dài các vectơ , 
2. Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng 

Đáp án:

1. a) || = || =  = =
2. b) Các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng là: và ;   và ;  và ,  và ;  và ;  và ;  và ;  và 

Bài 3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60. Tìm độ dài các vectơ sau: 

Đáp án:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

• = a

Ta có:    =>

Ta có =>

Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho  =  (Hình 1).

1. Tìm tổng của các vectơ + ;  + ;  + 

1. Tìm các vectơ hiệu: - ; - ;  -  
2. Chứng minh + =  + 

Đáp án:

1. a) + =  +  =  (quy tắc hình bình hành)

 +  =  +  = 

 +  =  +  = 

1. - =  -  = 

 -  =  -  = 

 -  =  -  = 

1. c) Xét hình bình hành AMCN, ta có: + =   (1)

Xét hình bình hành ABCD, ta có:  +  =        (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  +  =  + 

Bài 5. Cho a⃗ , b⃗  là hai vectơ khác vectơ 0⃗ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

1. |a⃗+ b⃗| = |a⃗ | + |b⃗ |;
2. |a⃗+ b⃗| = |a⃗  - b⃗ |

Đáp án:

1. a) Ta có: = +  + 2||. ||.cos(, )

                =  +  + 2||. ||

Để | + | = || + || thì 2||. ||.cos(, ) =  2||. ||  cos(, ) = 1   (, ) =

Vậy trong trường hợp  = k (k > 0) (hay  cùng hướng với   thì | + | = || + ||.

1. b) Ta có: = =  + 2 +  

               =  =  - 2 + 

Để | + | = | - | thì 2 = 0  

Vậy trong trường hợp .  = 0 (tức là   ) thì | + | = | - |.

Bài 6. Cho |a⃗  + b⃗ | = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

Đáp án:

|a⃗ | = |b⃗ |, vectơ a⃗  và b⃗  ngược hướng với nhau.

Bài 7. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng  =  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Đáp án:

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm của BC là

Bài 8. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng  

Đáp án:

Ta có: ABIJ là hình bình hành nên  

          BCPQ là hình bình hành nên 

          CARS là hình bình hành nên 

Ta có: 

= 

=

= 0⃗  + 0⃗  + 0⃗   = 0⃗  

Vậy  

Bài 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38m/s theo hướng nghiêng với một góc 20∘ vè phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Đáp án:

Áp dụng định lí côsin, ta có vận tốc của gió là: 

 =  16 (m/s)

Bài 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng 

Đáp án:

Qua M kẻ đường thẳng IK // AB, NP // AC, QS // BC (K, P ∈ BC; N, Q ∈ AB; I, S ∈ AC). 

Ta có: MK // AB ⇒ 

           MP // AC ⇒ 

⇒ ΔMKP đều mà MD là đường cao nên MD đồng thời là đường trung tuyến của ΔMKP.

⇒ 

Chứng minh tương tự, ta có: 

⇒ 2

=  (quy tắc hình bình hành)

= 3 (vì O là trọng tâm Δ ABC)

⇒   (đpcm)