Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 8 bài 3: Nhị thức Newton

BÀI 3. NHỊ THỨC NEWTON

KHỞI ĐỘNG

Ở Trung học cơ sở, ta đã quen thuộc với các công thức khai triển:

 ; .

Với số tự nhiên n>3 thì công thức khai triển biểu thức (a+b)ⁿ sẽ như thế nào?

Đáp án:

Có

=

Bài 1:

1. Xét công thức khai triển (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
2. Liệt kê các số hạng của khai triển trên
3. Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

• Tính giá trị của (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

4. Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a+b)⁴.

(a+b)⁴=(a+b).(a+b)³=?=?a⁴+?a³b+?a²b²+?ab³+?b⁴

Tính giá trị của  rồi so sánh với các hệ số của khai triển trên.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu 

1. Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a+b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Đáp án:

a)

1. Các số hạng của khai triển trên là: ; ; ; .
2. Các hệ số của khai triển trên: 1; 3; 3; 1

iii.

1. b)

 Giá trị của  lần lượt bằng với các hệ số của khai triển trên.

1. c) Dự đoán: 

Bài 2: Khai triển các biểu thức sau:

Đáp án:

1. a)

b)

Bài 3: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

1. = 81 (a)
2. = 1 (b)

Đáp án:

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

Có:

a)

VT(a) =  

 = 81 = VP(a)

1. b) Có:

VT(b) 

  = 1 = VP(b)

Bài 4: Trên quầy còn 4 vé sổ xố khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Đáp án:

TH1: Không mua vé nào

  = 1 (cách)

TH2: Mua 1 vé

 Chọn mua 1 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 1 của 4 vé  Có  = 4 (cách)

TH3: Mua 2 vé

 Chọn mua 2 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 2 của 4  Có  = 6 (cách)

TH4: Mua 3 vé

 Chọn mua 3 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 3 của 4  Có  = 4 (cách)

TH5: Mua 4 vé

 Chọn mua 4 vé bất kì trong 4 vé xổ số là một tổ hợp chập 4 của 4  Có  = 1 (cách)

 Áp dụng quy tắc cộng:

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (cách)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

Đáp án:

Bài 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

2. +

Đáp án:

.

1. +

 + 0

Bài 3: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x−2)⁵

Đáp án:

Hệ số  trong khai triển  là 1080

Bài 4:  Chứng minh rằng: 

Đáp án:

đpcm 

Bài 5: Cho A={a₁;a₂;a₃;a₄;a₅ }  là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.

Đáp án:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử () là một tổ hợp chập k của A. 

Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5

 Có:

Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5

 Có:

Tập con số lẻ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5

 Có:

 Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng:  +  +   (1)

Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5 

 Có:

Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5 

 Có:

Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5 

 Có:

 Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng:  +  +  (2)

Có:  =  ;  =  ;  =  (3)

Từ (1); (2) và (3)  số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm)