Đáp án Toán 8 chân trời sáng tạo Chương 8 Bài 3: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

BÀI 3. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

1. ÁP DỤNG CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VÀO TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: a) Từ trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác, xét xem tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP vuông tại M có  thì hai tam giác đó có đồng dạng với nhau không?

1. b) Từ trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác, xét xem nếu tam giác ABC vuông tại A và tam giác MNP vuông tại M có thì tam giác đó có đồng dạng với nhau không.

Đáp án:

1. a) Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

 = 90⁰

Suy ra: ΔABCᔕΔMNP (g.g)

1. b) Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:

 = 90⁰

Suy ra: ΔABCᔕΔMNP (c.g.c)

Bài 2: Cho tam giác DEF vuông tại D có DH là đường cao (Hình 3) Chứng minh rằng DE² =EH.EF

Đáp án: 

Tam giác HED vuông tại H và tam giác DEF vuông tại D có  chung

Vậy ΔHEDᔕΔDEF (g.g) nên  => DE² =EH.EF

Bài 3: Tính chiều cao của cột cờ trong Hoạt động khởi động (trang 73)

Đáp án: 

Gọi chiều cao cột cờ là x (m); (x > 0).

Giả sử cột điện là AB, có bóng trên mặt đất là AC.Thanh sắt là DE, có bóng trên mặt đất là DF

Vì cột cờ và thanh sắt đều vuông góc với mặt đất nên hai tam giác ABC và DEF đều là tam giác vuông.

Vì cùng một thời điểm tia sáng tạo với mặt đất một góc bằng nhau => 

Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEF vuông tại D có:

Suy ra: ΔABCᔕΔDEF (g.g) =>  =>  => x = 8

Vậy cột điện cao 8 m

2. THÊM MỘT DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC VUÔNG ĐỒNG DẠNG

Bài 1:  Cho hai tam giác vuông ABC và DEF có các kích thước như Hình 4.

1. a) Hãy tính độ dài cạnh AC và DF.
2. b) So sánh các tỉ số 
3. c) Dự đoán sự đồng dạng của hai tam giác ABC và DEF

Đáp án:

1. a) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABC ta có: BC²=AB²+AC²=> AC = 8

Tương tự: DF = 12

1. b) Ta có: = =

Suy ra  =

1. c) Dự đoán: ΔABCᔕΔDEF

Bài 2: Trong Hình 6, tam giác nào đồng dạng với tam giác DEF?

Đáp án: 

Tam giác ABC và tam giác DFE có:  =

Vậy ΔABCᔕΔDFE

Bài 3: Trong Hình 7, biết ΔMNPᔕΔABC với tỉ số đồng dạng k =, hai đường cao tương ứng là MK và AH

1. a) Chứng minh rằng ΔMNKᔕΔABHvà = k
2. b) Gọi S₁là diện tích tam giác MNP và S₂là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng   = k²

Đáp án:

1. a) Ta có ΔMNPᔕΔABCnên 

Xét tam giác vuông MNK và ABH có: 

Suy ra ΔMNKᔕΔABH nên  =  k

1. b) ΔMNPᔕΔABCnên =  k

Ta có   = k²

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 8.

Đáp án:

Xét tam giác vuông TUV và MKN có :  =   nên ΔTUVᔕΔMKN

Xét tam giác vuông DEF và GHI có :  =   nên ΔDEF ᔕΔGHI

Tam giác PQR có  90⁰ – 48⁰ = 42⁰

Xét tam giác vuông BAC và PQR ta có:  = 42⁰ nên ΔBACᔕΔPQR (g.g)

Bài 2: Quan sát hình 9

1. a) Chứng minh rằng ΔDEFᔕΔHDF
2. b) Chứng minh DF² =FH.FE
3. c) Biết EF = 15 cm, FH = 5,4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng DF

Đáp án:

1. a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có:  chung

Vậy ΔDEFᔕΔHDF (g.g)

1. b) Ta có ΔDEFᔕΔHDFnên =  => DF² = FH.FE
2. c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: DF²= 5,4 .15 => DF = 9 (cm)

Bài 3: Trong Hình 10, biết MB = 20m, MF = 2m, EF = 1,65 m. Tính chiều cao AB của ngọn tháp

Đáp án:

Xét ta giác vuông MEF và MAB ta có:  chung

Suy ra ΔMEFᔕΔMAB (g.g) nên  =   =>  =   => AB = 16,5 (m)

Bài 4: Trong Hình 11, cho biết , BE = 25cm, AB = 20cm, DC = 15cm. Tính độ dài đoạn thẳng CE

Đáp án:

Xét tam giác vuông ABE và ACD có   => ΔABEᔕΔACD (g.g)

• =   =>  =   => AC = 12

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông ABE ta có: BE² =AB² +AE²

=> AE =15 => CE = AE - AC = 15 - 12 = 3

Bài 5: Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:

1. a) ΔABHᔕΔDCB b)  =  

Đáp án:

1. a) Ta có BH⊥AE,CJ⊥AE=> BH // CJ => ( hai góc so le trong)

Xét tam giác vuông ABH và DCB ta có:   => ΔABHᔕΔDCB (g.g) 

1. b) ΔABHᔕΔDCBnên 

Xét tam giác vuông DCB và AEB ta có:  => ΔDCBᔕΔAEB (g.g)

=>  =  

Bài 6: Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3m và đặt cách xa tòa nhà 27 m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 1,2 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5m

Đáp án:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Ta có: A’C’ ⊥ A’B, AC ⊥ A’B, DE ⊥ A’B ⇒ A’C’ // AC // DE.

Ta có: ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC) =>  =  

Mà AC = 3m; DE = 1,5 m nên  =   =  =>  =

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 =  =  = 1,2 => DB = 1,2 ; AB = 2,4

⇒ A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 m

+ ΔACB ᔕ ΔA’C’B (vì AC // A’C’) =>  =  

⇒A′C′=AC.A′B : AB=2.29,4: 2,4=24,5(m)

Vậy tòa nhà cao 24,5m.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB tại M.

1. a) Chứng minh rằng ΔAMH ᔕ ΔAHB
2. b) Kẻ HN vuông góc với AC tại N. Chứng minh rằng AM . AB = AN . AC
3. c) Chứng minh rằng ΔANM ᔕ ΔABC
4. d) Cho biết AB = 9cm, AC = 12 cm. Tính diện tích tam giác AMH

Đáp án:

1. a) Xét tam giác vuông AMH và AHB ta có: chung => ΔAMH ᔕ ΔAHB (g.g)
2. b) ΔAMH ᔕ ΔAHB nên =  => AM. AB = AH² (1)

Xét tam giác vuông ANH và AHC ta có:  chung => ΔANH ᔕ ΔAHC (g.g)

=>  =    hay AN.AC=AH² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM . AB = AN . AC

1. c) Ta có AM . AB = AN . AC, do đó =

Xét tam giác vuông AMN và ABC ta có:  =   => ΔANM ᔕ ΔABC (c.g.c)

1. d) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC ta có: 

    BC² =AB² +AC² => BC = 15 (cm)

Ta có AH . BC = AB . AC => AH . 15 = 9 . 12 => AH = 7,2 (cm)

Xét tứ giác AMHN có bốn góc vuông nên AMHN là hình chữ nhật, do đó AH = MN = 7,2 (cm)

ΔANM ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k =  =   

Nên tỉ số diện tích của tam giác AMN và ABC là k² =

Diện tích tam giác ABC là: AB.AC=54(cm²)

Diện tích tam giác AMN là: 54. =12,4416(cm²)

Vậy diện tích tam giác AMN: 12,4416(cm²)