Đáp án Toán 9 kết nối Bài 28: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

BÀI 28. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Mở đầu: Cho trước một tam giác ABC. Bằng thước kẻ và compa, em có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác không?

Hướng dẫn chi tiết:

*Vẽ đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác

Bước 1: Vẽ tam giác ABC

Bước 2: Kẻ 3 tia phân giác của mỗi góc A,B,C

-Đặt 1 mép thước trùng với 1 cạnh của tam giác, và vẽ 1 đường thẳng; tương tự với cạnh kề cạnh vừa rồi. Nối giao điểm của chúng với góc giữa hai cạnh vừa vẽ. 

=>Ta được 1 tia phân giác của một góc

Tương tự vẽ tiếp phân giác với 2 góc còn lại.

=> Từ giao điểm của 3 đường phân giác,đặt đầu cố định compa vào vị trí đó. Đầu còn lại của compa mở rộng đến cạnh của tam giác, và xoay 1 vòng.

Ta được đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

*Vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác

Bằng thước thẳng ta xác định được trung điểm 3 cạnh của tam giác. Từ 3 vị trí trung điểm ta kẻ các đường thẳng vuông góc tương ứng 

Giao của 3 đường trung trực vừa kẻ chính là tâm của đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 1 trang 72 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB và O là một điểm trên d(H9.12). Hỏi đường tròn tâm O đi qua A thì có đi qua B không?

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có d là đường trung trực của đoạn thẳng AB

=>OA=OB(tính chất đường trung trực)

Vậy đường tròn tâm O đi qua A thì có đi qua B.

Hoạt động 2 trang 72 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC có ba đường trung trực đồng quy tại O(H9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn (O;OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn chi tiết:

Có ba đường trung trực đồng quy tại O

=>OA=OB=OC

Vậy đường tròn (O;OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Câu hỏi trang 73 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) trong hình9.14

Hướng dẫn chi tiết:

Bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O):

ΔBMC; ΔBNC; ΔMBN; ΔMCN

Hoạt động 3 trang 73 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A(H9.15). Gọi N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.

a)Vẽ hai đường trung trực a,b của các cạnh AB,AC cắt nhau tại M.

b)Hãy giải thích vì sao MN,MP là các đường trung bình của tam giác ABC.

c)Hãy giải thích vì sao M là trung điêm của BC, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính MB=MC=.

Hướng dẫn chi tiết:

a)

b)*Ta có BN=NA(a là đường trung trực của AB)

MN ⊥AC(gt)

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC(dấu hiệu nhận biết của đường trung bình)

*Có AP=PC(b là đường trung trực của AC)

MP⊥AC(gt)

=> MP là đường trung bình của tam giác ABC(dấu hiệu nhận biết của đường trung bình)

c) MP là đường trung bình của tam giác ABC

=>M là trung điểm của BC(tính chất đường trung bình)

Hay MB=MC=.

Vậy đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M và bán kính MB=MC=.

Luyện tập 1 trang 73 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC có AC=3cm, AB=4cm và BC=5cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn chi tiết:

Ta có =

=>ΔABC vuông tại A.

Lấy O là trung điểm BC và vẽ đường tròn (O) đi qua A. Khi đó, (O;OB) là đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Có O là trung điểm BC =>OB===2,5cm

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là 2,5cm

Hoạt động 4 trang 73 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

a)Vẽ tam giác đều ABC. Hãy trình bày các cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vẽ đường tròn đó.

b) Giải thích vì sao tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với trọng tâm của tam giác đó (H9.17)

c)Giải thích vì sao (M là trung điểm của BC)

Hướng dẫn chi tiết:

a)

Vẽ ba đường trung trực tương ứng với 3 cạnh của tam giác.

Giao điểm của chúng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

b)Vì ΔABC là tam giác đều, nên trọng tâm trùng với trực tâm.

Nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác O trùng với trọng tâm của tam giác đó.

c) ΔABC nội tiếp đường tròn (O) 

=>=sd cung nhỏ AC.

Mà ΔABC là tam giác đều =>BO là tia phân giác của .

=>==

^o

Xét ΔAMC vuông tại M

Ta có

=>AM=

⬄AM=     (AC=BC,ΔABC là tam giác đều)

⬄AM=(M là trung điểm của BC)

⬄AM=

⬄AM=

⬄AM=MC.

⬄AM=.BC

Mà  O là trọng tâm của ΔABC

=>AO=.AM(tính chất trọng tâm)

⬄AO=OB=.BC=.BC

Vậy OB=.BC

Luyện tập 2 trang 74 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 4cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Hướng dẫn chi tiết:

ΔABC nội tiếp đường tròn (O) 

=>OA=OB=OC=4=.BC

=>BC=AB=AC=4cm

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP MỘT TAM GIÁC

Hoạt động 5 trang 74 sgk toán 9 tập 2 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác đồng quy tại điểm I. Gọi D,E,F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ I xuống các cạnh BC,CA và AB(H9.19).

a)Hãy giải thích vì sao các điểm D,E,F cùng nằm trên một đường tròn có tâm I.

b)Gọi (I) là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao (I) tiếp xúc với các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn chi tiết: