Nội dung chính Toán 10 Cánh diều Chương 5 Bài 3: Tổ hợp

CHƯƠNG V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

BÀI 3. TỔ HỢP

I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1:

Ba cách chọn cặp đấu sẽ là:

+ Cách 1: Chọn Mạnh và Phong

+ Cách 2: Chọn Cường và Tiến

+ Cách 3: Chọn Phong và Cường

Mỗi cặp đấu gồm có 2 người nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Kết luận: 

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 k n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy tử n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. 

Ví dụ 1 (SGK – tr15) 

Luyện tập 1:

Tất cả các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là các tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 3 phần tử a, b, c là: {a; b}, {a; c}, {b; c}. 

II. SỐ CÁC TỔ HỢP

HĐ2:

1. Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A ví dụ như {a; b; c}.
2. Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A rồi sắp xếp theo một thứ tự nào ví dụ như ta chọn 3 phần tử a, b, c rồi sắp xếp theo thứ tự ngược của bảng chữ cái {c; b; a}
3. So sánh: Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.  

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó. 

Kết luận:

Kí hiệu: Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1 k n. Ta có: Cnk= Ank k!

Ví dụ 2 (SGK – tr16) 

Quy ước: 0! = 1; Cn0 = 1.

Kết luận: 

Với những quy ước trên, ta có công thức sau:

Cnk= n!k!n-k! với 0 ≤k≤n

Ví dụ 3 (SGK – tr16)

Luyện tập 2: 

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

Do đó có C103 = 120 cách chọn.

HĐ3 (SGK – tr17)

Luyện tập 3: 

III. TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ Cnk

HĐ4:

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có:

C62=15

C64=15

⟹C62=C64

b.

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: 

C42+C43=6+4=10

C53=10

C42+C43=C53

Kết luận:

Một cách tổng quát, ta có hai đẳng thức sau:

Cnk=Cnn-k 0≤k≤n

và Cn-1k-1 + Cn-1k = Cnk 1kn