Giáo án điện tử toán 10 cánh diều bài 3: Tổ hợp

BÀI 3: TỔ HỢP

1. KHỞI ĐỘNG

Trong một giải bóng bàn đôi nam, mỗi đội 8 người chọn 2 vận động viên để tạo thành một cặp đấu.

Trong toán học, mỗi cách chọn 2 vận động viên từ 8 vận động viên để tạo thành một cặp đấu được gọi là gì?

1. NỘI DUNG BÀI HỌC
2. Định nghĩa
3. Số các tổ hợp
4. Tính chất của các số

1. PHẦN TRIỂN KHAI KIẾN THỨC
2. Định nghĩa

Em hãy đọc nội dung HĐ1 và trả lời câu hỏi.

HĐ1:

Ba cách chọn cặp đấu sẽ là:

+ Cách 1: Chọn Mạnh và Phong

+ Cách 2: Chọn Cường và Tiến

+ Cách 3: Chọn Phong và Cường

Mỗi cặp đấu gồm có 2 người nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Kết luận:

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1  k  n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy tử n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Em hãy đọc nội dung Ví dụ 1 và trả lời câu hỏi.

Ví dụ 1 (SGK – tr15)

Bạn Quân có 4 chiếc áo sơ mi khác màu là áo vàng, áo xanh, áo trắng và áo nâu. Bạn muốn chọn 2 chiếc áo để mặc khi đi du lịch. Viết các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo.

Giải

Các tổ hợp chập 2 của 4 chiếc áo là:

{áo vàng; áo xanh  áo vàng; áo trắng  áo vàng; áo nâu , {áo xanh; áo trắng , {áo xanh; áo nâu , {áo trắng; áo nâu .

Em hãy đọc nội dung Luyện tập 1 và trả lời câu hỏi.

Luyện tập 1: Viết tất cả tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c.

Giải

Tất cả các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là các tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 3 phần tử a, b, c là: {a; b}, {a; c}, {b; c}.

2. Số các tổ hợp

Em hãy đọc nội dung HĐ2 và trả lời câu hỏi.

HĐ2:

Cho tập hợp .

1. a) Nêu cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong .
2. b) Nêu cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong .
3. c) So sánh cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong với cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong .

Giải

1. Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A ví dụ như {a; b; c}.
2. Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A rồi sắp xếp theo một thứ tự nào ví dụ như ta chọn 3 phần tử a, b, c rồi sắp xếp theo thứ tự ngược của bảng chữ cái {c; b; a}
3. So sánh: Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kết luận:

Kí hiệu:  là số tổ hợp chập k của n phần tử với 1  k  n. Ta có: .

Em hãy đọc nội dung Ví dụ 2 và trả lời câu hỏi.

Ví dụ 2 (SGK – tr16)

Chứng minh  với .