Nội dung chính Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

• Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

HĐKP1:

1. a) n. u = a.b + b.(-a) = 0 n u.
2. b) Vì M, M0 thuộc đường thẳng nên M0M chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng . Suy ra, vectơ M0M luôn cùng phương với vectơ u và luôn vuông góc với vectơ n.

Kết luận:

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ uu được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu u0uu≠0 và giá và giá của uuu song song hoặc trùng với .

- Vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

  Vectơ n là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠0 và n  vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

* Chú ý:

• Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n = (a; b) thì ∆ sẽ nhận u = (b; -a) hoặc u = (-b; a) là một vectơ chỉ phương.

• Nếu u là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì vectơ ku, (k ≠0)  cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

• Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương là u=ab thì vec tơ n=-ba là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Ví dụ 1: SGK-tr47

• Phương trình tham số của đường thẳng

HĐKP2:

Tọa độ điểm M là: {x=x0+tu1 y=y0+tu2

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi:

{x=x0+tu1 y=y0+tu2       (với u12  + u22  > 0, t ∈R)

là phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo (x0; y0) có vectơ chỉ phương u = (u1; u2).

* Chú ý:

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ∆ và ngược lại.

Ví dụ 2: SGK -tr47

Thực hành 1.

1. a) Phương trình tham số của đường thẳng là: {x=-9+8t y=5-4t
2. b) Thay y = 1 vào phương trình y = 5 - 4t, ta được: 1 = 5 - 4t t = 1

Thay t = 1 vào phương trình x = -9 + 8t, ta được: x = -9 + 8. 1 = -1

Vậy P = (-1; 1)

Vận dụng 1.

1. a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: {x=1+40t y=1+30t
2. b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

 {x=1+40.2 y=1+30.2  {x=81 y=61

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

 {x=1+40.4 y=1+30.4  {x=161 y=121

• Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐKP3:

Ta có: n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  u = (b; -a).

Khi đó, tọa độ của điểm M là: {x=x0+bt y=y0-at

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a(x0 + bt) + b(y0 - at) - ax0 - by0 = 0  ax0 + abt + by0 - abt - ax0 - by0 = 0 0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - ax0 - by0).

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thắng đều có phương trình tổng quát dạng

ax + by + c= 0

với a và b không đồng thời bằng 0.

* Chú ý: 

• Mỗi phương trình ax + by + c = 0 (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (a; b).
• Khi cho phương trình đường thẳng ax + by + c = 0, ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ 3: SGK -tr48

* Nhận xét:

• Phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) có dạng:

x - xAxB - xA=y - yAyB - yA

với xA xB; yA yB

• Nếu đường thẳng ∆ cắt trục Ox và Oy tại A(a; 0) và B(0; b) (a, b khác 0) thì phương trình ∆ có dạng.

xa+yb=1   (1)

Phương trình (1) còn được gọi là phương trình đoạn chắn.

Thực hành 2:

1. a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến  = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương u = (5; -3).

Phương trình tham số của là: {x=1+5t y=1-3t

Phương trình tổng quát của là: 3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 3x + 5y - 8 = 0

1. b) Đường thẳng đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u = (2; -7) nên ta có phương trình tham số của là: {x=2t y=-7t

Đường thẳng có vectơ chỉ phương  = (2; -7) nên có vectơ pháp tuyến  = (7; 2).

Phương trình tổng quát của là: 7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 7x + 2y = 0

1. Đường thẳng đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương u = MN = (-4; 3) và vectơ pháp tuyến n = (3; 4)

Phương trình tham số của là: {x=4-4t y= 3t

Phương trình tổng quát của là: 3(x - 4) + 4(y - 0) = 0 3x + 4y - 12 = 0

 Vận dụng 2.

1. a) Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng n = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2) và nhận n = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 4x + 3y - 10 = 0

1. b) Tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng và trục hoành: 

Ta có: {4xM+3yM-10=0 yM=0  {xM =52 yM=0

Vậy M = (52; 0)

Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

• Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng: SGK-tr50

+ Đồ thị hàm số bậc nhất y = kx + yo (k 0) là một đường thẳng có vectơ pháp tuyến n = (k;-1) và có phương trình tổng quát là kx - y + yo = 0. Đường thẳng này không vuông góc với Ox và Oy.

+  d là đồ thị của hàm bậc nhấtt y = kx + yo với hệ số góc k =-ab và tung độ góc yo =-cb.

* Chú ý:

• Nếu a = 0 và b 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành y = - cb .

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Oy tại điểm (0; - cb ) (H3a, SGK- tr50).

• Nếu b = 0 và a 0 thì phương trình tổng quát ax + by + c = 0 trở thành x = - ca.

Khi đó d là đường thẳng vuông góc với Ox tại điểm (- ca; 0) (H3b, SGK - tr50).

Trong cả hai trường hợp trên, đường thẳng d không phải là đồ thị của hàm số bậc nhất.

Ví dụ 4: SGK -tr50

Thực hành 3:

1. a) Ta có: 3x + 5y - 8 = 0 y = -35x + 85

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y =  -35x + 85

1. b) Ta có: 7x + 2y = 0 y = -72x

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y = -72x

1. c) Ta có: 3x + 4y - 12= 0 y = -34x + 3

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của là: y = -34x + 3

Vận dụng 3:

1. a) y=2x+5
2. b) Đồ thị d của hàm số đi qua hai điểm A(-52; 0) và B(0; 5).
3. c) Ta có: y=2x+5 2x-y+5=0

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là 2x-y +5=0.

Ta có d nhận n = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên u = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận u = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: {x=t=0 y=5+2t

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

HĐKP4:

2. a) 1 song song hoặc trùng với 2.
3. b) 1 và 2 cắt nhau.
4. c) 1 vuông góc với 2.

Kết luận:

Nếu n1 và n2 cùng phương thì ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tuỳ ý trên ∆1.

Nếu P ∆2 thì ∆1 ∆2.

Nếu P ∆2 thì ∆1 // ∆2.

Nếu n1 và n2  không cùng phương thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại một điểm M(xo; yo) với (xo; yo) là nghiệm của hệ phương trình:

{a1x+b1y+c1=0  a2x+b2y+c2=0 .

* Chú ý:

2. a) Nếu n1 . n2 = 0 thì n1 n2, suy ra ∆1 ∆2.
3. b) Đề xét hai vectơ n1 (a1; b1) và n2 (a2; b2) cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b1 – a2b2:

Nếu a1b1 – a2b2 = 0 thì hai vectơ cùng phương.

 Nếu a1b1 – a2b2 0 thì hai vectơ không cùng phương.

Trong trường hợp tất cả các hệ số a1, a2, b1, b2 đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:

Nếu a1a2 = b1b2  thì hai vectơ cùng phương.

Nếu a1a2 b1b2  thì hai vecto không cùng phương.

Ví dụ 5: SGK-tr52

Thực hành 4:

1. a) Đường thẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (1; -5) và n2 = (10; 2).

Ta có: n1. n2 = 1. 10 + (-5). 2 = 0 nên  và  là hai vectơ vuông góc, suy ra .

Giải hệ phương trình:

{x-5y+9=0 10x+2y+7=10  

 {x=-352 y=9352

Vậy 1 và 2 vuông góc và cắt nhau tại M(-352; 9352).

1. b) Ta có: n1 = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d1.

u2 = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d2  n2 = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d2.

Ta có: 33 = -4-4 suy ra n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Vậy d1 song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc d2, thay tọa độ của M và phương trình d1, ta được: 3. 1 - 4. 1 + 9  0.

Vậy // .

1. c) d1 và d2 có phương trình tổng quát lần lượt là: 3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0, có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1 = (3; -4) và n2 = (6; -8).

Ta có: 36 = -4-8 suy ra n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Vậy d1 song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc d2, thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy d1  d2.

Vận dụng 4:

1. a) Vì d1 song song với d2: x + 3y + 2 = 0 nên d1 nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm A(2; 3) và nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 2) + 3(y - 3) = 0 x + 3y - 11 = 0

1. b) Vì d1 vuông góc với d3: 3x - y + 1 = 0 nên d1 nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm B(4; -1) và nhận n = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 4) + 3(y  + 1) = 0 x + 3y - 1 = 0

3. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 

HĐKP5:

tOy = xOz = 38°

xOt = yOz = 180° - 38° = 142°

Kết luận:

Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng 1∆1và 2 cắt nhau tạo thành bốn góc.∆2. 

- Nếu 1 không vuông góc với 2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc gữa hai đường thẳng 1∆1và 2.

- Nếu 12∆1∆2thì 1,2=90 ∆1,∆2=900.

- Nếu  1//2 hoặc 12 thì 1,2=0.

Góc giữa hai đường thẳng luôn thỏa mãn 0≤α≤90 ∆1,∆2=00.

Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 được kí hiệu 1,2 hoặc (1, 2).

Ví dụ 6: SGK-tr54

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

HĐKP6:

n1 = (a1; b1), n2 = (a2; b2).

cos(n1, n2) = |n1.n2||n1|.|n2| = |a1a2+b1b2|a12+b12.a22+b22

Kết luận:

cos(∆1, ∆2)=a1a2 + b1b2a12+b12 . a22+b22 

* Nhận xét:

Nếu ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phương u1 , u2 thì cos(∆1, ∆2) = cos(u1 , u2)

* Chú ý:

Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó:

- Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 900 ⟺ a1a2 + b1b2 = 0.

Nếu ∆1 và ∆2 lần lượt có phương trình y = k1x + m1 và y = k2x + m2 thì ta có:

(∆1, ∆2) = 900 ⟺ k1.k2 = -1.

Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

Ví dụ 7: SGK – tr55

Thực hành 5:

1. a) Ta có: cos(1, 2) = |1.1+3.-2|12+32.12+(-2)2 = 22

(1, 2)  = 45°.

1. b) Đường thẳng 1 nhận n1 = (4; -2) là vectơ pháp tuyến u2 = (2; 4) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng 2 nhận vectơ chỉ phương là u2 = (1; 2).

Ta có: u1 = 2u2  u1 // u2 (1, 2) = 0°

1. c) Hai đường thẳng 1, 2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1 = (1; 2) và u2 = (2; -1).

Ta có: u1. u2 = 1. 2 + 2. (-1) = 0  u1  u2. Do đó, (1, 2) = 90°

Vận dụng 5:

Ta có: y = x x - y  = 0; y = 2x + 1 2x - y + 1 = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = x là d1: x - y = 0

Phương trình đường thẳng của đồ thị hàm số y = 2x + 1 là d2: 2x - y + 1 = 0

cos(d1, d2) = |1.2+(-1).(-1)|12+(-1)2.22+(-1)2 = 31010

(d1, ) = 18°26'

4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

HĐKP7:

1. a) n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng : ax + by + c = 0 nên n  (1)

Vì H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống nên MH      (2)

Từ (1) và (2)  n và HM0 cùng phương.

Ta có: n = (a; b), HM0 = (x0-xHy 0-yH)

1. b) Vì H nên axH+byH+c=0

c = -axH-byH

Ta có: 

p = n. HM0 = a(x0-xH) + b(y0-yH)

 = ax0-axH+by0-byH = ax0 + by0 + c (đpcm)

1. c) Vì n cùng phương với HM0 nên HM0 = tnn

 {x0 -xH =ta y0-yH=tb  {xH=x0-ta yH=y0-tb

mà H nên a(x0 - ta) + b(y0 - tb) + c = 0 

ax0 - ta2 + by0 - tb2 + c = 0

  t = ax0+by0+ca2+b2

Ta có: |HM0| = (x0-xH)2+(y0-yH)2 

= (x0-x0+ta)2+(y0-y0+tb)2 

= (a2+b2).t2 

= a2+b2.t 

= a2+b2. ax0+by0+ca2+b2 

= ax0+by0+ca2+b2 = |p||n| (đpcm)

Kết luận:

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0(a2 + b2 > 0) và điểm M0(x0; yo=0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thắng ∆, kí hiệu là d(M0, ∆), được tính bởi công thức:

dM0, ∆=|ax0 + by0 + c|a2 + b2

Ví dụ 8: SGK-tr56

Ví dụ 9: SGK-tr56

Thực hành 6:

Ta có: AB = (4; 1), AC = (3; 3), BC = (-1; 2)

• Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 1) và nhận n1 = (1; -4) làm vectơ pháp tuyến là:

1(x - 1) - 4(y - 1) = 0 x - 4y + 3 = 0

• Phương trình đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 1) và nhận n2 = (3; -3) làm vectơ pháp tuyến là:

3(x - 1) - 3(y - 1) = 0 x - y = 0

• Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm C(4; 4) và nhận n3 = (2; 1) làm vectơ pháp tuyến là:

2(x - 4) + (y - 4) = 0 2x + y - 12 = 0

• Độ dài đường cao hạ từ A xuống BC là: d(A; BC) = 2.1+1-1222+12 = 955
• Độ dài đường cao hạ từ B xuống AC là: d(B; AC) = 5-212+(-1)2 = 322
• Độ dài đường cao hạ từ C xuống AB là: d(C; AB) = 4-4.4+312+(-4)2 = 91717

Vận dụng 6:

Ta có: 44 = -3-3  212 d1 // d2.

Ta có: M(1; 2) d1, 

d(d1, d2) = d(M; d2) = 4.1-3.2+1242+32 = 2