Nội dung chính Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

CHƯƠNG IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

1. ELIP

• Nhận biết elip

HĐKP1:

F1M + F2M = 2a.

Kết luận:

Cho hai điểm cố định F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2. Elip (E) tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M + F2M = 2a.

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.

Độ dài F1F2  = 2c gọi là tiêu cự của elip (a>c).

• Phương trình chính tắc của elip

HĐKP2

1. a) = (xM-xF1)2+(yM-yF1)2 = (x+c)2+y2

F2M = (xM-xF2)2+(yM-yF2)2 = (x-c)2+y2

1. b) Elip (E) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho + = 2a

 (x+c)2+y2+(x-c)2+y2 = 2a.

Kết luận:

Mxy Ex2a2+y2b2=1

(b=a2-c2,a>b>0)

Trong đó b = a2-c2

Phương trình chính tắc của elip.

* Chú ý:

(E) cắt Ox tại hai điểm A1 (-a; 0), A2 (a; 0) và cắt Oy tại hai điểm B1 (0;-b); B2(0; b).

Các điểm A1 ; A2 ; B1 ; B2  gọi là các đỉnh của elip.

Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

Giao điểm O của hai trục gọi là tâm đối xứng của elip.

Nếu M(x; y) (E) thì x ≤ a; y ≤ b

Ví dụ 1: SGK-tr65

Ví dụ 2: SGK-tr65

Thực hành 1.

Ta có: a = 3; b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: x29 + y24 = 1

Vận dụng 1:

Ta có: 2a = 10 a = 5; b = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: x225 + y216 = 1

2. HYPEBOL

• Nhận biết hypebol

HĐKP3:

1. a) Ta có: MF2 + MA = l MA = l - MF2

Lại có MF1 + MA = d MF1 + l - MF2 = d MF1 - MF2 = d - l = 2a

Vậy MF1 - MF2 = 2a

1. b) MF2 - MF1 = 2a

⇒ Kết luận:

- Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F1F2. Hypebol (H) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M-F2M = 2a

- Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol.

- Độ dài F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của hypebol. (c >a).

HĐKP4:

1. a) F1M = (xM-xF1)2+(yM-yF1)2 = (x+c)2+y2

F2M = (xM-xF2)2+(yM-yF2)2 = (x-c)2+y2

1. b) Hypebol (H) là tâp hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho |F1M-F2M | = 2a

 |(x+c)2+y2-(x-c)2+y2| = 2a.

⇒ Kết luận:

Mxy Hx2a2-y2b2 =1 

Trong đó b=c2-a2

* Chú ý:

Ví dụ 3: SGK – tr67

Thực hành 2.

Ta có: 2c = 10 c = 5; 2b = 6 b = 3

a = c2-b2 = 52-32 = 4

Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là: x216 - y29 = 1

Vận dụng 2.

Theo bài ra ta có, khoảng cách từ nóc tháp đến tâm O bẳng 40m, khoảng cách từ tâm O đến đáy bằng 80m.

Thay y = 40 vào phương trình (H), ta được: x2272 - 402402 = 1 x2 = 2. 272 x = 272

Bán kính đường tròn nóc bằng 272 m.

Thay y = 80 vào phương trình (H), ta được:  x2272 - 802402 = 1 x2 = 5. 272 x = 275

Bán kính đường tròn đáy bằng 275 m.

3. PARABOL

• Nhận biết parabol

HĐKP5

Đồ thị (P) của hàm số (*) vừa tìm được là một parabol.

Phương trình chính tắc của parabol

HĐKP6

1. a) MF = (xF-xM)2+(yF-yM)2 = (p2-x)2+(0-y)2 = (x-p2)2+y2

d(M, ) = |x + p2|

1. b) Ta có (P) là tập hợp các điểm M cách đều F và nên MF = d(M, )

 (x-p2)2+y2 = |x + p2|

Kết luận:

M(xy )∈(P)⇔y2=2px 

Phương trình trên được gọi là phương trình chính tắc của parabol.

* Chú  ý: 

+ O gọi là đỉnh của parabil (P)

+ Ox gọi là trục đối xứng của parabol (P)

+ p gọi là tham số tiêu của parabol (P)

+ Nếu M(x; y) (P) thì x 0 và M'(x; -y) (P). 

Ví dụ 4: SGK – tr69

Ví dụ 5: SGK – tr69

Thực hành 3.

(P) có đường chuẩn : x + 1 = 0 p = 2

Vậy (P) có phương trình y2 = 4x

Vận dụng 3.

Chọ hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gọi phương trình của parabol là y2 = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OC = 10 m C(10; 0)

Bề rộng của cổng tại chân cổng là AB = 5m AC = 2,5 m A(10; 2,5)

Vì A(10; 2,5) (P) nên thay tọa độ của A vào phương trình (P), ta được:

2,52 = 2p. 10

p = 516 (P): = 58x

Thay tọa độ điểm D(2; a) vào phương trình (P), ta được: = 58. 2 a = 52

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là: 2a = 2. 52 = 5 (m).