CHƯƠNG 6: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

BÀI 4: PHƯONG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT

( 26 câu)

1. NHẬN BIẾT (12 câu)

Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2-x+3 và đường thẳng y=11.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: 2-x+3=112-x=8

2-x=23-x=3x=-3.

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là -3;11. 

Câu 2. Tìm tập nghiệm S của phương trình 2x2+2x+3=8x.

Lời giải. Phương trình

hoặc x=0 

Câu 3. Tìm tập nghiệm S của phương trình x≤-2

Lời giải. Ta có 234x=322x-6234x=236-2x4x=6-2xx=1. 

Câu 4. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình ex2-3x=1e2.

Lời giải. Ta có ex2-3x=1e2ex2-3x=e-2x2-3x=-2x2-3x+2=0[x=1 x=2 .

  →S=1;2  →T=1+2=3. 

Câu 5. Giải phương trình .

Lời giải. Phương trình x-1=43x-1=64x=65. 

Câu 6. Tìm tập nghiệm S của phương trình

Lời giải. Phương trình x5-x=6x2-5x+6=0[x=2 x=3 . 

Câu 7. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?

Lời giải. Phương trình x-3x+4=8x-3x-4=0

Câu 8. Tính là tích tất cả các nghiệm của phương trình

Lời giải. Phương trình x2-3x+2x=1x2-4x+2=0[x=2-2=x1 x=2+2=x2 .

  →P=x1x2=2-22+2=4-2=2. 

Hoặc từ phương trình

Câu 9. Giải bất phương trình . 

Lời giải. Bất phương trình 3x-1>233x>9x>3. 

Câu 10. Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Lời giải. Điều kiện: {x2-1>0 3x-3>0 x>1.

Bất phương trình: (chú ý với cơ số )

Câu 11. Tìm tập nghiệm của bất phương trình , biết thuộc

Lời giải. Điều kiện: {x2-x-2>0 -x2+2x+3>0 0<a≠1 {2<x<3 0<a≠1 .

Do là nghiệm của bất phương trình đã cho nên

Vì nên bất phương trình x2-x-2<-x2+2x+3

Câu 12. Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Lời giải. Điều kiện:

Bất phương trình x2>4x-4⇔x2-4x+4>0⇔x-22>0⇔x≠2.

Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bpt là . 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1. Gọi là tập nghiệm của bất phương trình Kí hiệu lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của tập . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải. Điều kiện:

Bất phương trình ⇔4x2≤12x-5⇔4x2-12x+5≤0⇔12≤x≤52. ( thỏa mãn)

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là .

Suy ra và nên  

Câu 2. Tìm tập nghiệm của bất phương trình

Lời giải. Điều kiện:

Bất phương trình

x2+21<10x⇔3<x<7thỏa mãn  →S=3;7. 

Câu 3. Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn bất phương trình ?

Lời giải. Điều kiện: .

Bất phương trình

x-4060-x<102x2-100x+2500>0⇔x-502>0⇔x≠50.

Kết hợp với điều kiện, ta được {40<x<60 x≠50  x∈Z+ →x∈41;...;59\50. 

Câu 4. Số nghiệm của phương trình là:

Lời giải. Điều kiện: .

Phương trình x3-5x2+6x=0⇔[x=0 x=2 x=3 .

Đối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x=3. 

Câu 5. Biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất có dạng a+b3 với . Tính tổng S=a+b.

Lời giải. Điều kiện: 0<x<1.

Phương trình

x21-x=x+21-xx21-x2=x1-x+2⇔x1-x2-x1-x-2=0

x1-x=-1 (vô nghiệm) hoặc x1-x=2

⇔x+2x-2=0  →x=-1+3  →x=4-23  →{a=4 b=-2 . 

Câu 6. Phương trình có tổng tất cả các nghiệm bằng: 

Lời giải. Điều kiện: x2-2x+1x>0⇔x-12x>0⇔0<x≠1.

Phương trình

Xét hàm số với . Ta có .

Suy ra hàm số đồng biến trên

Nhận thấy có dạng

x2-3x+1=0⇔[x=3+52thỏa mãn x=3-52thỏa mãn   →3+52+3-52=3. 

3. VẬN DỤNG ( 5 câu)

Câu 1. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình có dạng S=1a;b với là những số nguyên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải. Điều kiện:

Bất phương trình

Đối chiếu với điều kiện, ta được tập nghiệm của bất phương trình là S=13;3.

Suy ra . 

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22x-1+m2-m=0 có nghiệm.

Lời giải. Ta có 22x-1+m2-m=0⇔22x-1=-m2+m.

Vì 2x-1 có miền giá trị là R nên 22x-1 có miền giá trị là 0;+∞, do đó phương trình có nghiệm ⇔-m2+m>0⇔0<m<1. 

Chú ý: Cần phải nói rõ 2x-1 có miền giá trị là R thì mới kết luận được y=22x-1 có miền giá trị là 0;+∞. Sai lầm hay gặp là phương trình ax=m có nghiệm m>0 thì đúng, còn phương trình au=m có nghiệm ⇔m>0 nói chung không đúng. Ví dụ như hàm số y=2x2+1 có miền giá trị là [2;+∞). 

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 4x+1-2x+2+m=0 có nghiệm.

Lời giải. Ta có 4x+1-2x+2+m=0⇔2x+12-2.2x+1+m=0.

Đặt 2x+1=t>0. Phương trình 1 trở thành t2-2t+m=0⇔t2-2t=-m.

Để phương trình 1 có nghiệm phương trình 2 có nghiệm t>0. 

Cách 1. Xét hàm ft=t2-2t với t>0.

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được -m≥-1⇔m≤1. 

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2+3x+2-3x=m có nghiệm. 

Lời giải. Đặt 2+3x=t>0, suy ra 2-3x=1t.

Phương trình đã cho trở thành t+1t=m.

Xét hàm ft=t+1t với t>0. 

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m≥2. 

Câu 5. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9x-2.3x+1+m=0 có hai nghiệm thực thỏa mãn x1+x2=1.

Lời giải. Ta có 9x-2.3x+1+m=0⇔32x-6.3x+m=0.

Đặt t=3x>0, phương trình trở thành t2-6t+m=0.    

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phương trình * có hai nghiệm dương

{Δ'≥0 S>0 P>0 {9-m≥0 6>0 m>0 ⇔0<m≤9.

Theo định lí Viet, ta có 3x1.3x2=m⇔3x1+x2=m⇔3=m. (thỏa). 

4. VẬN DỤNG CAO ( 3 câu)

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn -2018;2018 thỏa mãn bất phương trình

Lời giải. Điều kiện: .

Bất phương trình (thỏa)

(thỏa )

2x2-x>2-x⇔[{2-x<0 2x2-x≥0  &{2-x≥0 2x2-x>2-x2  [x>1 x<-4

 x∈-2018;2018x∈Z →x∈-2018;-2017;...;-6;-5;2;3;...;2017;2018 có 4031 giá trị nguyên của x thỏa mãn. 

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải. Điều kiện:

Phương trình  

⇔mx=100x+100⇔m-100x=100⇔x=100m-100. 

Thay vào điều kiện, ta có {m.100m-100>0 100m-100+1>0 100m-100+1≠1 mm-100>0⇔[m>100 m<0 . 

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình có nghiệm thực.

Lời giải. Điều kiện: . Đặt , với x>0 suy ra t∈-∞;+∞. 

Bất phương trình đã cho trở thành t2-2t+3m-2<0⇔3m<-t2+2t+2*.

Ycbt phương trình * có nghiệm với .

Ta có gt=-t2+2t+2=3-t-12≤3,∀t∈R. Suy ra .

Từ đó suy ra 3m<3⇔m<1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.