CHƯƠNG 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

( 24 câu)

1. NHẬN BIẾT (9 câu)

Câu 1: Cho tứ diện có , (, lần lượt là trung điểm của và ). Số đo góc giữa hai đường thẳng và là

Hướng dẫn giải:

Gọi , lần lượt là trung điểm , .

Ta có:

là hình thoi.

Gọi là giao điểm của và .

Ta có: .

Xét vuông tại , ta có: .

Mà: .

Câu 2: Cho hình hộp . Giả sử tam giác và đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có: (tính chất của hình hộp)

(do giả thiết cho nhọn).

Câu 3: Cho tứ diện đều (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi là trung điểm (do đều).

Do .

Ta có: .

Câu 4: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và?

Hướng dẫn giải:

Câu 5: Trong không gian cho hai hình vuông và có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Vì và là hình vuông nên là hình bình hành 

Mà là tâm của 2 hình vuông nên là trung điểm của và là đường trung bình của

Mặt khác, nên

Câu 6: Cho tứ diện có và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Ta có và là 2 tam giác đều, là trung điểm của nên (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh ) nên là tam giác cân ở . Do đó

Câu 7: Cho tứ diện có hai mặt và là các tam giác đều. Góc giữa và là?

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm của  

Vì và là các tam giác đều 

Nên .

Suy ra .

Câu 8: Cho hình hộp . Giả sử tam giác và đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có: nên góc giữa hai đường thẳng và

 là góc giữa hai đường thẳng và  

bằng góc nhọn (Vì tam giác đều có 3 góc nhọn

Câu 9: Cho tứ diện đều . Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng:

Hướng dẫn giải:

Gọi là trọng tâm tam giác .

Vì tứ diện đều nên .

Ta có: .

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng và bằng  

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1. Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh . Khi đó bằng

Hướng dẫn giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện có cạnh bằng .

Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi là trung điểm

Ta có: .

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của : , .

Xét , ta có: .

Từ đó: .

Câu 2: Cho tứ diện có . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Góc giữa bằng

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Từ đó suy ra tứ giác là hình bình hành.

Mặt khác: là hình thoi (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

.

Câu 3: Cho hình chóp có và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vì và

Do đó:

Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

vuông tại .

Khi đó:

Câu 5: Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Câu 6: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và?

Hướng dẫn giải:

Ta có: (do là hình chữ nhật) 

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).

Từ (1) và (2) .

Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .

Xét , ta có: vuông tại .

.

Câu 2: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).

Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).

Từ (1) và (2) . 

Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .

Mặt khác, ta lại có đều, do đó .

Câu 3: Cho hình chóp có và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Ta có: .

Do đótam giác đều. Gọi là trọng tâm của tam giác .

Vì hình chóp có

 nên hình chiếu của trùng với

Hay .

Ta có:  

Suy ra . 

Vậy góc giữa cặp vectơ và bằng .

Câu 4: Cho tứ diện có và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Chọn B. 

Xét tam giác có là trung điểm đoạn . 

Ta có:  

Vì tam giác có và  

Nên tam giác đều. Suy ra:  

Tương tự ta có tam giác đều nên .

Xét .

Suy ra . Hay góc giữa cặp vectơ và bằng .

Câu 5: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằng:

Hướng dẫn giải:

Gọi là tâm của hình thoi .

Ta có: .

Nên góc giữa và bằng góc giữa và .

Xét tam giác có

 .

Nên tam giác đều.

Vậy góc giữa và bằng góc giữa và

bằng góc .

Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác đều và có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Gọi là trung điểm

cân tại  

cân tại  

Kết luận: góc giữa và là  

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho tứ diện có trọng tâm . Chứng minh :

 .

Hướng dẫn giải:

Lại có:

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Câu 2: Cho tứ diện đều cạnh bằng . Gọi là trung điểm , là góc giữa và . Tính cos a

Hướng dẫn giải:

Gọi là trọng tâm của

Trên đường thẳng qua và song song lấy điểm sao cho là hình chữ nhật, từ đó suy ra:  

Có: và

;

Câu 3: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?

Hướng dẫn giải:

Đặt cạnh của hình lập phương trên là  

Gọi là giao trung điểm  

Qua kẻ đường thẳng  

Qua kẻ đường thẳng  

Suy ra cắt tại . 

Từ đó suy ra