BÀI 28. BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (8 BÀI)

Bài 1: Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của 10 bạn này ở hai môn Toán và Ngữ Văn được cho như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh có được điểm giỏi môn Ngữ Văn”

B: “Học sinh có được điểm giỏi môn Toán”

Tìm

Đáp án:

A: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn"

B: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán"

Tập hợp  A∪B  à tập hợp các điểm số mà môn Ngữ văn hoặc Toán đạt giỏi:

Bài 2: Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài. Xét các biến cố sau:

H: “Học sinh đó là một bạn nữ";

K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H".

Nêu nội dung của biến cố hợp M=H∪K. 

Đáp án:

Biến cố H xảy ra khi học sinh được chọn là một bạn nữ, nó là tập hợp các học sinh nữ và được ký hiệu là

H={Hương, Hồng, Dung, Phương}.

Biến cố K xảy ra khi học sinh được chọn có tên bắt đầu là chữ cái H, được ký hiệu là

K={Hương, Hồng,Hoàng}.

Biến cố hợp M xảy ra khi học sinh được chọn là một bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H, nó là tập hợp các học sinh trong tập H hoặc K (bao gồm cả những học sinh trùng nhau của hai tập này) và được ký hiệu là

M=H∪K={Hương, Hồng, Dung, Phương,Hoàng}.

Bài 3: Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố P: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4"; Q: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6". Nội dung của biến cố giao S = PQ là gì?

Đáp án:

Biến cố S là giao của hai biến cố P và Q, nghĩa là các số vừa chia hết cho 4 và vừa chia hết cho 6, được ký hiệu là S=P∩Q={12; 24}.

Vậy P, Q và S lần lượt là các tập con của không gian mẫu Ω.

Bài 4: Biến cố hợp của A và B là biến cố gì?
Đáp án:

Biến cố hợp của A và B là biến cố: "A hoặc B xảy ra"

Bài 5: Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn";

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3".

Chọn câu đúng.

Đáp án:

Cả A và B đều đúng.

Hai biến cố A, B là độc lập với nhau.

Bài 6: Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh là?
Đáp án:

Gọi A là biến cố: “lấy được 3 quả cầu màu xanh.

Ta có P(A)=

Bài 7: Từ một hộp chứa 10 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng?

Đáp án:

Số phần tử không gian mẫu n()=

Gọi A là biến cố: “lấy được 3 quả cầu màu xanh”

Khi đó, n(A)=

Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh: P(A)=

Bài 8: Hộp có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy ra cùng màu.

Đáp án:

Số phần tử của không gian mẫu: 15.18=270.

Số cách chọn từ mỗi hộp 1 iên bi sao cho 2 viên bi cùng màu là: 4.7+5.6+6.5=88

Vậy xác suất cần tìm là

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

E: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố";

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”. 

Hai biến cố có quan hệ như nào với nhau?

Đáp án:

Hai biến cố E và B không độc lập.

Bài 2: Biến cố giao của A và B được gọi là biến cố?

Đáp án:

Biến cố: "Cả A và B xảy ra" được gọi là biến cố giao của A và B

Bài 3: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn;
F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ"
K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn".

Nêu quan hệ của 3 biến cố.

Đáp án:

Để tích của hai số chẵn là số chẵn, thì cả hai số đều phải chẵn. Vì vậy, khi biến cố K xảy ra, biến cố E cũng phải xảy ra. Đồng thời, khi tích của hai số không phải là số chẵn (tức là một số lẻ nhân một số chẵn), thì ít nhất một trong hai số phải là số lẻ. Do đó, khi biến cố K không xảy ra (tức là tích của hai số là số lẻ), biến cố F cũng không xảy ra.

Vậy nếu biến cố K xảy ra, thì biến cố E và biến cố F cũng phải xảy ra. Do đó, ta có thể kết luận rằng biến cố K là biến cố hợp của biến cố E và biến cố F.

Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

P: “Học sinh đó bị cận thị”;

Q: “Học sinh đó học giỏi môn Toán".

Nêu nội dung của các biến cố PQ.

Đáp án:

Biến cố PQ xảy ra khi học sinh đó vừa bị cận thị vừa học giỏi môn Toán.

Bài 5: Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập khi nào?

Đáp án:

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biển cố kia.

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Xét phép thử : “gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 2 lần”.

1. Mô tả không gian mẫu.
2. Xác định các biến cố sau:

A: “ Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”

B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”

C: “ Kết quả của 2 lần gieo khác nhau”

Đáp án:

1. Không gian mẫu của phép thử

 = {SS , SN , NS , NN}, n() = 4

A = {SN , NS}

B = {SS , SN , NS}

C = {SN , NS}

Bài 2: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba
lần. Gọi A là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và B là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố A  B.

Đáp án:

A = {SSS, SSN, NSS}, B = {SSS, NNN}. Suy ra A  B = {SSS, SSN, NSS, NNN}.

Bài 3: Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất 5 lần. Tính số phần tử không gian mẫu

 Đáp án:

Mỗi lần giao có hai khả năng nên giao 5 lần theo quy tắc nhân ta có

Số phần tử không gian mẫu là n(= 32.

Bài 4: Rút ngẫu nhiên cùng lúc ba con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con thì n(bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Ta có n(=  = 22100.

Bài 5: Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau P(A)=0,4, P(B)=0,3. Khi đó P(AB) bằng?

Đáp án:

Do A và B là hai biến cố độc lập nhau nên P(AB)=P(A).P(B)=0,4.0,3=0,12.

4. VẬN DỤNG CAO (2 BÀI)

Bài 1: Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát.

Đáp án:

Tại mọi ô đang đứng, ông vua có 8 khả năng lựa chọn để bước sang ô bên cạnh.
Do đó không gian mẫu n(
Gọi A là biến cố “sau 3 bước quân vua trở về ô xuất phát”. Sau ba bước quân vua muốn quay lại ô ban đầu khi ông vua đi theo đường khép kín tam giác. Chia hai trường hợp:
+ Từ ô ban đầu đi đến ô đen, đến đây có 4 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
+ Từ ô ban đầu đi đến ô trắng, đến đây có 2 cách để đi bước hai rồi về lại vị trí ban đầu.
Do số phần tử của biến cố A là n(A) = 4.4 + 2.4 = 24.

Vậy xác suất P(A) =

Bài 2: Cho tam giác đều H có cạnh bằng 8. Chia tam giác này đều
thành 64 tam giác đều có cạnh bằng 1 bởi các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác đều đã cho. Gọi S là tập hợp các đỉnh của 64 tam giác đều có cạnh bằng 1. Chọn Ngẫu nhiên 4 đỉnh của tập S . Tính xác suất để 4 đỉnh chọn được là bốn đỉnh của một hình bình hành nằm trong miền trong tam giác đều H.

Đáp án:
Ta thấy có 3 loại hình bình hành dựa vào cách chọn phương của hai cạnh của hình bình hành. Số hình bình hành của mỗi loại là bằng nhau nên chỉ cần tính một loại rồi nhân với 3.

Dựng thêm một đường thẳng song song với cạnh đáy và cách cạnh đáy một khoảng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song kề nhau, tạo thành một tam giác đều mở rộng như hình vẽ.
Ta chia cạnh mới thành 9 phần bằng nhau bởi 8, cộng thêm 2 đầu mút nữa thành 10 điểm. Các điểm được đánh số từ trái sang phải từ 1 đến 10.
Khi đó, với 1 hình bình hành có hai cạnh song song với hai cạnh bên tương ứng với bốn số 1£ a< b< c< d£10 theo quy tắc sau: Nối dài các cạnh của hình bình hành, cắt các cạnh mới tại 4 điểm có số thứ tự là a, b, c, d. Ví dụ với hình bình hành màu đỏ trên ta có bộ (2,5, 7,9).
Ngược lại nếu có một bộ số 1£ a< b< c< d£10 ta sẽ kẻ các đường thẳng từ điểm a, b song song với cạnh bên trái và từ c , d song song với cạnh bên phải giao nhau ra một hình bình hành.
Vậy số hình bình hành loại này là số cách lấy ra bốn số phân biệt (a; b; c; d) từ 10 số tự nhiên{1,2,3,...,10} và ta được  
Vậy kết quả là 3.= 210 = 630 hình bình hành.
Ta thấy có 1+2+3+...+9 = 45 giao điểm giữa các đường thẳng nên số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) =

Vậy xác suất cần tính là P(A) =