BÀI 30. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (6 BÀI)

Bài 1: Cho  và  là hai biến cố độc lập với nhau. . Khi đó  bằng?

Đáp án:

Do  và  là hai biến cố độc lập với nhau nên

Bài 2:  là hai biến cố độc lập. Biết . Tính

Đáp án:

A, B là hai biến cố độc lập nên:

Bài 3: Trong một kì thi có  thí sinh đỗ. Hai bạn  cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là?

Đáp án:

Ta có:

Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là: P = .

Vì biến cố  độc lập biến cố B và biến cố A độc lập biến cố  nên:

Bài 4: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi  là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ  ” với . Gọi  là các biến cố "Lần thứ tư mới bắn trúng bia”. Hãy biểu diễn các biến cố  sau qua các biến cố .

Đáp án:

Ta có:  là biến cố lần thứ  bắn không trúng bia.

Do đó

Bài 5: Một xưởng sản xuất có  máy, trong đó có một số máy hỏng. Gọi  là biến cố : “ Máy thứ  bị hỏng”. . Biến cố : “ Cả n đều tốt " là?

Đáp án:

Ta có:  là biến cố: “Máy thứ  bị hỏng”. .

Nên  là biến cố “Máy thứ  tốt”. .

Biến cố A: “Cả n đều tốt’’ là:

Bài 6: Một người bắn liên tiếp vào một mục tiêu khi viên đạn trúng mục tiêu thì thôi (các phát súng độc lập nhau). Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,6. Tính xác suất để bắn đến viên thứ 4 thì ngừng bắn.

Đáp án:

Gọi A_i là biến cố trúng đích lần thứ 4.

H là biến cố bắn lần thứ 4 thì ngừng H

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Bạn An có 3 cái áo và 4 cái quần. Hỏi bạn An có mấy cách chọn một bộ quần áo?

Đáp án:

Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện hai công đoạn liên tiếp

Công đoạn 1- Chọn một cái quần: Có 4 cách thực hiện

Công đoạn 2- Chọn một cái áo: Có 3 cách thực hiện.

Theo quy tắc nhân ta có 4.3 = 12 cách chọn một bộ quần áo.      

Bài 2: Biển số xe máy của tỉnh A có kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái , kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1, 2,...,9} mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0, 1,...,9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

Đáp án:

Ta có 26 cách chọn chữ cái để xếp ở vị trí đầu tiên.

Tương tự có 9 cách chọn chữ số cho vị trí thứ hai.

Có 10 cách chọn chữ số cho mỗi vị trí trong bốn vị trí còn lại.

Vậy theo quy tắc nhân có tất cả:

26.9.10.10.10.10 = 2340000

Bài 3: Nhãn mỗi chiếc ghế trong một hội trường gồm hai phần: phần đầu là một chữ cái , phần thứ hai là một số nguyên dương nhỏ hơn 26. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế được ghi nhãn khác nhau?

Đáp án:

Gọi n là số nguyên dương nhỏ hơn 26.

Ta có:

Chọn một chữ cái trong 24 chữ cái có 24 cách.

Chọn một số nguyên dương có 25 cách.

Theo quy tắc nhân có :224.5=600 cách ghi nhãn khác nhau.

Bài 4: Tô màu các cạnh của hình vuông bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?

Đáp án:

Trường hợp 1: To cạnh AC và CD khác màu:

Số cách tô cạnh AB: 6 cách

Số cách tô cạnh BC: 5 cách

Số cách tô cạnh CD: 4 cách

Số cách tô cạnh AD: 4 cách

Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.4.4=480 cách tô cạnh AB và CD khác nhau.

Trường hợp 2: Tô cạnh AB và CD cùng màu:

Số cách tô cạnh AB: 6 cách

Số cách tô cạnh BC: 5 cách

Số cách tô cạnh CD: 1 cách

Số cách tô cạnh AD: 5 cách

Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.1.5=150 cách tô cạnh AB và CD cùng màu.

Vậy số cách tô àu thỏa đề bài là: 480 + 150 = 630 cách.

Bài 5: Có ao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 7 bạn nữ thành một hàng ngang, sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau.

Đáp án:

Xếp 7 bạn nữ thành hàng ngang có 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cách xếp.

Khi đó 7 bạn nữ chia hàng ngang thành 8 khoảng trống mà mỗi bạn nữ là một vách ngăn.

Xếp 5 bạn nam vào 8 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nam. Số cách xếp 5 bạn nam là : 8.7.6.5.4 = 6720 cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: 5040 x 6720 = 33868800 cách xếp.

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Tổ 1 của lớp 11A có 2 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 bạn học sinh vào 1 dãy ghế đặt theo hàng ngang sao cho 2 bạn học sinh nam không đứng cạnh nhau?

Đáp án:

Có 4 vị trí để xếp 4 học sinh nữ:

Vị trí 1: có 4 cách xếp

Ví trí 2: có 3 cách xếp

Vị trí 3: có 2 cách xếp

Vị trí 4: có 1 cách xếp

Ta có 4 học sinh nữ tạo thành 5 vách ngăn, ta đặt 2 học sinh am vào 5 vách ngăn đó

Học sinh nam thứ nhất: có 5 cách chọn

Học sinh nam thứ hai: có 4 cách chọn

Theo quy tắc nhân:  4.3.2.1.5.4 = 480 cách chọn

Bài 2: Có bao nhiêu cách xếp 7 bạn nam và 5 bạn nữ vào một bàn ròn có 12 chỗ ngồi, sao cho không có hai bạn nam nào ngồi cạnh nhau.

Đáp án:

Xếp 7 bạn nam vào bàn tròn có 1.6.5.4.3.2.1 = 720 cách xếp.

Khi đó có 7 bạn nam chia vòng tròn quanh bán bàn thành 7 khoảng trống.

Xếp 5 bạn nữ vào 7 khoảng trống đó sao cho mỗi khoảng trống xếp nhiều nhất một bạn nữ. Số cách xếp 5 bạn nữ là: 7.6.5.4.3 = 2520 cách xếp.

Theo quy tắc nhân có: 720 x 2520 =1814400 cách xếp.

Bài 3: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C không ngồi chính giữa?

Đáp án:

Số cách xếp 5 học sinh vào 5 vị trí là 5.4.3.2.1 = 120 cách.

Ta đếm số cách xếp để bạn C ngồi chính giữa.

Ta xếp C vào chính giữa, sau đó xếp A, B, D, E.

Có 1 cách xếp C.

Xếp A vào 4 vị trí còn lại có 4 cách.

Xếp B vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.

Xếp C vào 2 vị trí còn lại có 2 cách.

Xếp E vào 1 vị trí còn lại có 1 cách.

Như vậy theo quy tắc hân có 1.2.3.4 = 24 cách xếp sao cho C không ngồi giữa.

Do đó 120 – 24 = 96 cách xếp sao cho C ngồi giữa.

Bài 4: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 3 học sinh tham gia trực tuần sao cho 3 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đáp án:

*Ta đếm số cách chọn 3 học sinh bất kì trong 12 học sinh.

Chọn bạn thứ nhất có 12 cách. Chọn bạn thứ 2 từ 11 bạn còn lại có 11 cách. Chọn bạn thứ 3 từ 3 bạn còn lại có 10 cách.

Mà mỗi cách chọn như vậy lặp lại 6 lần nên có tất cả  cách.

*Ta đếm số cách chọn 3 học sinh ở cả 3 lớp.

Chọn 1 HS lớp T có 5 cách. Chọn 1 HS lớp L có 4 cách. Chọn 1 HS lớp H có 3 cách.

Theo quy tắc nhân có tất cả 5.4.3 = 60 cách.

Vậy có 220 – 60 = 160 cách.

Bài 5: Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho bạn C không ngồi đầu.

Đáp án:

Số cách xếp 5 học sinh vào 5 vị trí là 5.4.3.2.1 = 120 cách.

Ta đếm số cách xếp để bạn C ngồi đầu.

Ta xếp C trước, sau đó xếp A, B, D ,E.

Có 2 cách xếp C.

Xếp A vào 4 vị trí còn lại có 4 cách.

Xếp B vào 3 vị trí còn lại có 3 cách.

Xếp C vào 2 vị trí còn lại có 2 cách.

Xếp E vào 1 vị trí còn lại có 1 cách.

Như vậy theo quy tắc nhân có 2.1.2.3.4=48 cách xếp sao cho C ngồi giữa.

Do đó có 120 – 48 = 72 cách xếp sao cho C không ngồi đầu.

4. VẬN DỤNG CAO (4 BÀI)

Bài 1: Có 5 học sinh trong đó có An. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh vào một dãy ghế đặt theo hàng dọc sao cho An không đứng đầu hàng?

Đáp án:

Giả sử 5 ghế được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 5

Bước 1: Xếp 5 học sinh vào 5 ghế không phân biệt An ở vị trí nào

+ Vị trí thứ 1: có 5 cách xếp

+ Vị trí thứ 2: có 4 cách xếp

+ Vị trí thứ 3: có 3 cách xếp

+ Vị trí thứ 4: có 2 cách xếp

+ Vị trí thứ 5: có 1 cách xếp

Theo quy tắc nhân: 5.4.3.2.1 = 120 cách.

Bước 2: Xếp 5 học sinh vào 5 ghế nhưng An ở vị trí đầu tiên

+ Vị trí thứ 1: có 1 cách xếp

+ Vị trí thứ 2: có 4 cách xếp

+ Vị trí thứ 3: có 3 cách xếp

+ Vị trí thứ 4: có 2 cách xếp

+ Vị trí thứ 5: có 1 cách xếp

Theo quy tắc nhân: 5.4.3.2.1 = 120 cách.

Vậy số cách xếp 5 học sinh vào một dãy ghế đặt theo hàng dọc sao cho An không đứng đầu hàng là: 120 – 24 = 96 cách.

Bài 2: Có bao nhiêu số Palindrome gồm năm chữ số?

Đáp án:

Số Palindrome thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng .

Chữ số a có 9 cách chọn, chữ số b có 10 cách chọn, chữ số c có 10 cách chọn.

Theo quy tắc nhân có tất cả:

9.10.10 = 900

Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 45.

Đáp án:

Gọi a là số có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45.

Khi đó a chia hết cho 5 và 9.

Trường hợp 1: a có hàng đơn vị bằng 0; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số

{1; 8}, {2; 7}, {3; 6}, {4; 5}.

Có 4 cách chọn 3 trong 4 bộ số nói trên, có 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cách xếp 7 chữ số đã chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, có: 4.5040 = 20160 (số).

Trường hợp 2: a có hàng đơn vị bằng 5; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số

{0; 9}, {1; 8}, {2; 7}, {3; 6}.

* Không có bộ {0; 9}: có 1 cách chọn 3 bộ số còn lại, có 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 cách xếp 7 chữ số đã chọn.

* Có bộ {0; 9}: có 3 cách chọn 2 bộ số trong 3 bộ số còn lại, có 6.6.5.4.3.2.1 = 4320 cách xếp 7 chữ số đã chọn. Áp dụng quy tắc nhân, có:

3.4320 = 12960 (số).

Vậy có 20160 + 5040 + 12960 = 38160 số.

Bài 4: Tìm số các ước dương của số 490000?

Đáp án:

Vì các ước số dương của B có dạng

U =

m có 5 cách chọn, n có 5 cách chọn, p có 3 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, có 5.5.3 = 75 ước dương của B.