Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 6: Hình thoi

BÀI 6: HÌNH THOI

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tứ giác ABCD có . Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Biết ,. Tính diện tích tứ giác

Giải: 

EF là đường trung bình của tam giác ABC 

nên 

Tương tự: ; 

Do nên  

suy ra EFGH là hình thoi

Câu 2: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 4 cm, tổng hai đường chéo bằng    10 cm.

Giải:

Gọi độ dài hai đường chéo là và , ta có và  

Suy ra  

Diện tích hình thoi bằng

Câu 3: Tính cạnh của hình thoi có diện tích bằng tổng hai đường chéo 

bằng   

Giải:

Gọi độ dài hai đường chéo là và  

ta có và  

Suy ra cạnh hình thoi bằng .

Câu 4: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài lần lượt là 8cm và 10cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là?

Giải: 

Độ dài đường chéo của hình thoi lần lượt là

Độ dài cạnh của hình thoi là

Câu 5: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, biết AC = 16cm và OB = 6cm. Tính CD?

Giải: 

Do ABCD là hình thoi nên

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

nên

Vì ABCD là hình thoi nên

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC có , đường trung tuyến BM. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng   là hình thoi.

Giải:

Gọi O là giao điểm của BM và AH. 

Tam giác ABM cân tại A (vì ) có tia AH là tia phân giác của góc A, nên AH cũng là đường cao hay và (1).

Tam giác AHC có và (cùng vuông góc đối với AH) nên (2).

Tứ giác ABHM có nên ABHM là hình bình hành.

Lại có nên ABHM là hình thoi.

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi

Giải:

Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên và (1).

Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên và (1).

Từ (1) và (2) suy ra  và . Do đó   là hình bình hành.

Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung bình, ta có . 

Theo giả thiết, nên  

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi. 

Câu 3: Cho hình thang cân . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi.

Giải: 

Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên ta có và (1).

Tương tự trong tam giác ACD

và (2) 

Từ (1) và (2) suy ra và  

Do vậy   là hình bình hành (3).

Lại xét tam giác ABD, MQ là đường trung bình, suy ra   

Vì  ABCD là hình thang  cân nên , từ đó suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra là thoi.

Câu 4: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Giải:

Ta có: EB = EA, FB = FA (gt)

Nên EF là đường trung bình của ΔABC.

Do đó EF // AC

HD = HA, GD = GC (gt) nên HG là đường trung bình của ΔADC.

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG         (1)

Chứng minh tương tự EH // FG         (2)

Từ (1) và (2) ta được EFGH là hình bình hành

Lại có: EF // AC và BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF

EH // BD và EF ⊥ BD nên EF ⊥ EHHình bình hành EFGH có Ê = 90º nên là hình chữ nhật

Câu 5: Cho hình bình hành . Vẽ tại E, tại F. Biết . Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi.

Giải:

Xét   và có:

(theo giả thiết),  (so le trong)

(g.c.g)  suy ra  

là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.

Câu 6: Cho hình thang gọi lần lượt là trung điểm của hai đáy và hai đường chéo của hình thang.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác là hình bình hành
2. b) Hình thang phải có thêm điều kiện gì để tứ giác là hình thoi?

Giải: 

1. a) Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác cho và ta sẽ có:

và là hình bình hành.

1. b) Tương tự ta có:

và

Nên để là hình thoi thì khi đó và trung trực hay trục đối xứng của và hình thang là hình thang cân.

Câu 7: Chứng minh rằng:

1. a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.
2. b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Giải:

1. a) Hình bình hành nhận giao điểm 2 đường chéo là tâm đối xứng.

Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm của 2 đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình.

1. b) Lấy 1 điểm M bất kì thuộc hình thoi.

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua BD

⇒ M’ luôn thuộc hình thoi.

Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

Tương tự như thế ta có AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho hình thang ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Hình thang ABCD có thêm điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi.

Giải:

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình nên

Tương tự ta có PQ là đường trung bình tam giác ADC nên

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ; MN = PQ ⇒ MNPQ là hình bình hành

Để hình bình hành MNPQ là hình thoi ta cần có MN = MQ

Mà (cmt); (do MQ là đường trung bình tam giác ABD)

Suy ra AC = BD

Vậy để hình bình hành MNPQ là hình thoi thì AC = BD

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi 

Giải:

Ta có (cạnh huyền, góc nhọn) 

và .

Vì H là trực tâm của ΔABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

Từ đó và  

Xét ΔEBC có (cùng vuông góc với AC) 

và nên  

Chứng minh tương tự ta được 

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và nên tứ giác   là hình bình hành.

Mặt khác, (cùng bằng của hai cạnh bằng nhau) nên là hình thoi.

Câu 3: Cho hình thoi ABCD. Trên cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE và AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì AC ⊥ BD tại O theo tính chất về đường chéo của hình thoi.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD ta được:

⇒ ΔΔABE = ΔΔADF (c.g.c)

Điều này chứng tỏ ΔΔAGH có đường cao AO đồng thời là đường phân giác nên ΔΔAGH cân tại A ⇒⇒ HO = OG (2)

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi ABCD ta được AO = OC (3)

Từ (1), (2) và (3) có tứ giác AGCH là hình bình hành có đường chéo AC là phân giác của  nên nó là hình thoi.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AD và BC. Các đường BE, DE cắt các đường chéo AC tại P và Q. Tứ giác EPFQ là hình thoi nếu góc ACD bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của AC, BD. 

Xét tứ giác EDFB có   nên EDFB là hình bình hành               Suy ra 

Xét tam giác ABD có P là giao điểm hai đường trung tuyến nên P là trọng tâm ΔABD ⇒

Xét tam giác CBD có Q là giao điểm hai đường trung tuyến nên Q là trọng tâm ΔCBD ⇒

Mà BE = DF (cmt) ⇒ EP = QF

Xét tứ giác EPFQ có  ⇒ EPQF là hình bình hành

Để hình bình hành EPFQ là hình thoi thì EF ⊥ PQ.

Mà EF // CD (do E là trung điểm AD, F là trung điểm BC)

Nên PQ ⊥ CD hay AC ⊥ CD

Câu 2: Cho hình bình hành Trên các cạnh và lần lượt lấy các điểm và sao cho Đường trung trực của lần lượt cắt các đường thẳng và tại và  

1. a) Chứng minh và đối xứng với nhau qua
2. b) Chứng minh tứ giác là hình thoi;
3. c) Hình bình hànhcó thêm điều kiện gì để tứ giác là hình thang cân.

Giải: 

1. a) Do là hình bình hành

;( đối đỉnh) 

Suy ra

Ta có nên .

Vậy là hình thoi và 2 điểm đối xứng nhau qua .

1. b) Tứ giác có

Lại có P là trung điểm , P là trung điểm ; là hình thoi.

1. c) Để là hình thang cân thì .

Mà nên có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để là hình thang cân thì .