Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 7: Hình vuông

BÀI 7: HÌNH VUÔNG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là bao nhiêu?

Giải: 

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16cm. Khi đó 4.AB = 16cm

⇒ AB = 4cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là 32.

Câu 2: Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 4cm thì độ dài đường chéo của hình vuông là?

Giải:

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh là a (cm) 

Áp dụng định lý Py – to – go thì độ dài đường chéo của hình vuông là cm.

Do đó với a = 4 thì độ dài đường chéo là (cm) 

Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cm. Tính diện tích hình vuông?

Giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Suy ra

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

Do đó, diện tích hình vuông đã cho là

Câu 4: Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Hình vuông có diện tích 400cm2. Tính OA?

Giải: 

Diện tích hình vuông là nên AB = 20 cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có

Suy ra

Vì ABCD là hình vuông có O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm của AC

Suy ra

Câu 5: Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là

Giải:

Hình vuông có 4 cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh)

Từ giả thiết ta có 4a = 28 ⇔ a = 7cm

Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB; BC; CD và DA. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì? Biết MN = NP.

Giải:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Xét tam giác ACD có P và Q lần lượt là trung điểm của CD và AD nên PQ là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Ta có

Vì

Hình bình hành MNPQ có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Do MN = NP nên hình chữ nhật MNPQ là hình vuông.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có M; N và H lần lượt là trung điểm của AB; AC và BC. Hỏi tứ giác AMHN là hình gì?

Giải: 

Vì N và H lần lượt là trung điểm của AC và BC nên NH là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Chứng minh tương tự, có MH là đường trung bình của tam giác ABC nên

Tứ giác AMHN có 2 các cạnh đối song song với nhau nên là hình bình hành

Lại có nên tứ giác AMHN là hình chữ nhât.

Theo giả thiết, tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên AC = AB (3)

Từ (1); (2) và (3) suy ra: NH = MH.

Hình chữ nhật AMHN có hai cạnh liền kề NH và MH bằng nhau nên là hình vuông

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Phân giác trong AD của góc A (D ∈ BC). Vẽ DF ⊥ AC, DE ⊥ AB. Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông.

Giải: 

Xét tứ giác AEDF có

⇒ AEDF là hình chữ nhật  (1) 

Theo giả thiết ta có AD là đường phân giác của góc

Xét Δ AED có

⇒ Δ AED vuông cân tại E nên AE = ED (2) 

Từ (1), (2) ⇒ AEDF là hình vuông 

Câu 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để hình bình hành EFGH là hình vuông.

Giải:

Ta có EH; EF lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD; BAC nên  

Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi   

Từ (1); (2) ⇒ thì hình bình hành EFGH là hình vuông

Câu 5: Tìm các hình vuông trên hình sau. Giải thích lý do.

Giải:

• ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ ABCD là hình vuông

• MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông

• RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒ RSTU là hình thoi
• Hình thoi RSTU có một góc vuông ⇒ RSTU là hình vuông.

Câu 6: Cho hình sau. Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

Giải: 

Tứ giác AEDF có EA // DF (cùng vuông góc AF)

DE // FA (cùng vuông góc AE)

⇒ AEDF là hình bình hành (theo định nghĩa)

Hình bình hành AEDF có đường chéo AD là phân giác của góc A

⇒AEDF là hình thoi.

Hình thoi AEDF có Â = 90º

⇒ AEDF là hình vuông.

Câu 7: Cho hình vuông . Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho . Chứng minh là hình vuông.

Giải:

* Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Theo giả thiết ta có AE = BF = CG = DH nên ta có:

AB – AE = BC – BF = CD – CG = DA – DH

⇔ BE = CF= DG = HA

* Xét các tam giác vuông AEH, BFE, CGF, DHG có:

AE= BF = CG = DH (giả thiết)

HA= BE = CF = DG (chứng minh trên)

⇒ ΔAEH = ΔBFE = ΔCGF = ΔDHG ( c.g.c)

Suy ra: HE = EF = FG = GH (các cạnh tương ứng)

Và (hai góc tương ứng)   (1)

* Tứ giác EFGH có HE = EF = FG = GH nên EFGH là hình thoi.

* Xét tam giác AHE vuông tại A nên (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Lại có

Tứ giác EFGH là hình thoi có 1 góc bằng 90o nên EFGH là hình vuông.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho hình chữ nhật . Vẽ các tam giác vuông cân , , I và K nằm trong hình chữ nhật. Gọi E là giao điểm của AI và DK, F là giao điểm của BI và CK. Chứng minh rằng

1. a) EF song song với CD.
2. b) EKFI là hình vuông. 

Giải:

1. a) Tam giác KCD cân tại K nên (1).

(g.c.g) nên (2).

Từ (1) và (2) suy ra: 

.

Tam giác vuông KEF có nên .

Ta lại có: (2 góc đồng vị bằng nhau).

1. b) Tam giác EAD có nên .

Tứ giác EKFI có nên là hình chữ nhật.

Lại có là hình vuông.

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có và . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

Giải:

Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên  

Lập luận tương tự, ta có  

Theo giả thiết, AD = BC suy ra . 

Vậy là hình thoi (1).

Mặt khác ta có:

(góc đồng vị). theo giả thiết

suy ra

Do vậy ta được góc   (2).

Từ (1) và (2) cho ta MNPQ là hình vuông.

Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Gọi E, F lần lượt trên cạnh AB, AD sao cho   Chứng minh rằng và  

Giải:

Gọi I là giao điểm của DE và CF.

Xét hai tam giác ADE và DCF có:

(vì ABCD là hình vuông).

.

(theo giả thiết)

Vậy , khi đó ta có:

và .

Mặt khác , suy ra  

 Vậy

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

1. a) Chứng minh AN = DM và
2. b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành một hình vuông.
3. c) Gọi E là giao điểm của DM và AN. Chứng minh CE = CD.

Giải:

1. a) Xét hai tam giác ABN và DAM vuông tại B và A, có và

Do đó

Suy ra và .

Mà , do đó , hay .

Vậy ta có và .

1. b) Giả sử các đoạn thẳng DM, AN, BP, CQ giao nhau tạo thành tứ giác EFGH.

MB // DP và là hình bình hành. 

Suy ra BP // DM ANBP.

Tương tự ta cũng có .

Như vậy tứ giác EFGH có .

* Ta chứng minh :

Dễ thấy EM là đường trung bình trong tam giác ABF, E là trung điểm của AF.

Tương tự H là trung điểm của DE.

Xét hai tam giác ABF và DAE vuông tại F là E, có: 

; (vì ). 

Suy ra  

Từ đó ta có EF = EH. Vậy EFGH là hình vuông.

1. c) H là trung điểm của DE và , do đó ta suy ra cân tại C, hay là .

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC theo thứ tự tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB theo thứ tự tại Q và N. Chứng minh rằng:

1. a) .
2. b) .
3. c) Tam giác BOC vuông cân.
4. d) MNPQ là hình vuông.

Giải: 

1. a) (cùng phụ với ).
2. b) Ta có: mà

.

.

1. c) Tam giác OBC có

nên

cân tại O (1).

Mặt khác, vì nên ta có:

(2).

Từ (1) và (2) suy ra vuông cân.

1. d) Tam giác OBC cân tại O nên (3).

(g.c.g), (4).

Từ (3) và (4) suy ra:

Mà cân tại B có đường cao BO cũng là đường trung tuyến nên O là trung điểm của QN hay .

Tương tự ta có .

là hình thoi.

Ta lại có: nên MNPQ là hình vuông