Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 4: Hình học trực quan

ÔN TẬP CHƯƠNG 4. HÌNH HỌC TRỰC QUAN (PHẦN 1)

Bài 1:  Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Trả lời:

Diện tích đáy ABCD là

Thể tích khối chóp cần tìm là 

Bài 2: Trong các tấm bìa ở hình sau, em gấp lại tấm bìa nào thì có được một

hình chóp tứ giác đều?

Trả lời:

- Hình a khi gấp lại thì không được một hình chóp đều vì đáy là tứ giác đều nhưng chỉ có ba mặt bên thay vì phải có 4 mặt bên.

- Hình b, c khi gấp lại thì được một hình chóp tứ giác đều.

- Hình d khi gấp lại thì không được một hình chóp tứ giác đều vì ở trên cùng một cạnh đáy có đến 2 mặt bên còn trên một cạnh đáy thì không có mặt bên nào.

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Trả lời:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 4cm nên đáy là hình vuông cạnh 4cm

Nửa chu vi đáy là

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm nên độ dài trung đoạn là

Diện tích xung quanh là

Diện tích đáy

Diện tích toàn phần là  

Bài 4: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 5cm và độ dài trung đoạn là 6cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Trả lời:

Nửa chu vi của đáy ABC là

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp

Bài 5: Thể tích khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáy ABC là tam giác đều có diện tích là

Thể tích khối chóp cần tìm là 

Bài 6: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH ⊥ (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

Diện tích đáy

Vì H là trọng tâm tam giác ABC ⇒ 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

Vậy thể tích của hình chóp là

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có đáy là hình vuông cạnh 2cm. Các mặt bên là các tam giác cân có đường cao bằng 7cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp SABCD.

Trả lời:

Diện tích đáy

Diện tích xung quanh là

Diện tích toàn phần là  

Bài 8: Một kim tự tháp có dạng là một hình chóp tứ giác đều có diện tích xung quanh bằng 320m², các mặt bên là các tam giác đều. Biết đường cao của một mặt bên là 20m. Hãy tính cạnh của đáy.

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh đáy là

Do tất cả các mặt bên là tam giác đều nên cạnh của các mặt bên cũng bằng

Diện tích một mặt bên là

Khi đó diện tích xung quanh của kim tự tháp là

Theo đề bài ta có

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính diện tích xung quanh hình chóp.

Trả lời:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có CM  AB và AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên: 

Ta có SM = CM (đường cao hai tam giác đều và bằng nhau) nên

Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón ngoại tiếp hình chóp.

 Trả lời:

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi N là trung điểm của BC

Hình nón ngoại tiếp hình chóp có chiều cao là

SH = 2a, bán kính đáy là

Suy ra đường sinh

Diện tích xung quanh là  

Bài 11: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

 Trả lời:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được

Do đó

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H ta được

Áp dụng

Ta có:

Bài 12: Cho hình chóp đều S.ABC. Chứng minh rằng mỗi cạnh bên của hình chóp đó vuông góc với cạnh đối diện, mỗi mặt phẳng chứa một cạnh bên và đường cao của hình chóp đều vuông góc với cạnh đối diện.

Trả lời:

* S.ABC là hình chóp đều ⇒ △ABC là tam giác đều ⇒ SA = SB = SC.

Do đó khi ta vẽ SH ⊥ (ABC)

⇒ H là trọng tâm của △ABC đều và có AH ⊥ BC.

Theo định lý ba đường vuông góc ⇒ SA ⊥ BC

Chứng minh tương tự ta được SB ⊥ AC; SC ⊥ AB.

* Vì BC ⊥ AH và BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SAH)

Chứng minh tương tự ta có CA ⊥ (SBH) và AB ⊥ (SCH).

Bài 13: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.

 Trả lời:

Thể tích của hình chóp

Diện tích đáy là

Gọi O là tâm của hình vuông, I là trung điểm của DC thì

Đặt SO = h. Có

Có  mà  

Vậy

Bài 14: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

 Trả lời:

Kẻ  thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Mà

Suy ra

Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng  và chiều cao h = 1. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp đó là

 Trả lời:

Gọi O là tâm của tam giác ABC

suy ra ;

Trong tam giác vuông SAO, áp dụng định lí Pytago ta có 

Trong mặt phẳng (SAO) kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I

suy ra IS = IA = IB = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của SA, ta có tam giác SHI đồng dạng với tam giác SOA nên 

Vậy diện tích mặt cầu .

Bài 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho . Mặt phẳng qua  chia hình chóp tam giác đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.

Trả lời:

Thiết diện là hình thang MNEF là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Đặt

Bài 17: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm  sao cho . Mặt phẳng qua cắt SD tại

Chứng minh rằng

 Trả lời:

Ta có  

Cộng (1) với (2) ta có

 (3)

Tương tự ta có  

và

Cộng (4) với (5) ta có

Từ (3) và (6) ta có

Bài 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100 ; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Trả lời:

Thể tích của hình chóp đều là

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

Bài 19: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC.

 Trả lời:

Dựng SO⊥ ΔABC, Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có

Tam giác ABC đều nên tam giác SAO vuông, áp dụng Pi - ta - go ta có  

Vậy

Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều cạnh 3 cm và độ dài trung đoạn là 5 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp?

Trả lời:

Nửa chu vi của đáy ABC là

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp