CHƯƠNG 8: HÌNH ĐỒNG DẠNG

BÀI 3: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính độ dài cạnh BC biết AB = AC = 2dm

Giải:

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có BC2 = AB2 + AC2

Câu 2: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Giải:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có x2 + y2 = 262 ⇔ x2 + y2 = 676

Theo bài ra ta có

Khi đó ta có

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH?

Giải:

Ta có BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AB2 = BC2 - AC2 = 252 - 202 = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có

HB2 + HA2 = AB2 ⇒ AH2 = AB2 - HB2 = 152 - 92 = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH2 - BH2 = AC2

Giải:

Nối C với M ta được tam giác vuông CMH

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Do đó CH2 - BH2 = (CM2 - MH2) - BH2 = CM2 - (MH2 + BH2) = CM2 - BM2

Mà MA = MB (gt)

Nên CH2 - BH2 = CH2 - MA2 = AC2

Vậy CH2 - BH2 = AC2

Câu 5: Tam giác ABC có , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh a2 = b2 + c2 + bc

Giải:

Kẻ tại H

Xét tam giác BHA vuông ta có

Xét tam giác BHC vuông ta có

Hay

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Cho tứ giác ABCD, có , , , ,

1. a) Tính góc
2. b) Chứng minh
3. c) Chứng minh .

Giải:

1. a) Ta có , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo)
2. b) Ta có (Pitago)
3. c)

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.

1. a) Tính BC.
2. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ 
3. c) Tính EB và EM.
4. d) Chứng minh BH vuông góc với EC.

Giải:

1. a) (Pitago)
2. b) (góc chung) (g.g)
3. c)
4. d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC,

Câu 3: Cho tam giác ABC, có , đường cao Chứng minh

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) 
2. b)

Câu 4: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song với (P))

Giải:

Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và (P).

Do đó

Các đường thẳng lần lượt đi qua C, D song song với AB cắt (P) tại C', D' thì C', D' chính là hình chiếu của C, D lên (P) theo phương AB.

Vậy hình chiếu của tứ diện ABCD là tam giác A'C'D'.

Câu 5: Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.

Giải:

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song (tính song song không được bảo toàn).

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình vuông , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho  

1. a) Chứng minh
2. b) Chứng minh .
3. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

Giải:

1. a) Chứng minh

Tam giác EMC có trung tuyến nên là tam giác vuông tại M.

1. b) Chứng minh
2. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

Câu 2: Cho có đường cao AH, biết ;

1. a) Tính độ dài AH và chứng minh
2. b) Chứng minh

Giải:

1. a) Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có

Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có 

Ta lại có

Xét và có     

1. b) Ta có

Xét và có  (đpcm) 

Câu 3: a) Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

1. b) Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều. 

Giải:

1. a) Vẽ tam giác tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn . Qua O ta kẻ hai dây ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó, tứ giác MNEF là hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.
2. b) Xét hình lục giác đều ABCDEF , ta nhận thấy:

- Tứ giác OABC là hình thoi 

- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O 

Từ đó, suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau: 

- Vẽ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC.

- Lấy các điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A' B'C'D'E'F' của hình lục giác đều ABCDEF.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng  

Giải: 

Vẽ

Xét ABH và ACE có chung 

Suy ra   

(1)

Xét và có (so le trong)

Suy ra (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được:

Câu 2: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC'. 

1. a) Xác định đường thẳng đi qua M đồng thời cắt AN và A'B.
2. b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và A'B. Hãy tính tỉ số

Giải:

1. a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cắt cả AN và BA'. 

Gọi I, J lần lượt là giao điểm củavới AN và BA'.

Xét phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu A'B. 

Khi đó ba điểm J, I, M lần lượt có hình chiếu là B, I', M. 

Do J, I, M thẳng hàng nên B, I', M cũng thẳng hàng. 

Gọi N' là hình chiếu của N thì AN' là hình chiếu của AN. 

Vì . 

Từ phân tích trên suy ra cách dựng:

Lấy

Trong (ANN') dựng II' // NN' (đã có NN' // CD') cắt AN tại I. 

Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng.

1. b) Ta có MC = CN' suy ra MN' = CD = AB. 

Do đó I' là trung điểm của BM . 

Mặt khác II' // JB nên II' là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra IM = IJ .