Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp (P3)

ÔN TẬP CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE.

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP (PHẦN 3)

Bài 1: Cho tam giác ADC vuông tại D có đường trung tuyến DE (E ∈ AC). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho EB = ED.

1. a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
2. b) Biết AD = 5 dm, DC = 4 dm. Tính chu vi tứ giác ABCD.

Trả lời:

1. a) Vì DE là đường trung tuyến của tam giác ADC nên E là trung điểm của AC

Vì EB = ED nên E là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Theo giả thiết, ta có góc ADC bằng 90 ° nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

1. b) Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (5 + 4) . 2 = 18 (dm).

Bài 2: Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Trả lời:

Vì E là trung điểm của BC; H là trung điểm của AC .

Nên EH là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra EF // CI

Kết hợp với AB ⊥ CD  (gt)      (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)

Suy ra HE⊥ EF

Suy ra HEF = 90° (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật.

Từ đó hai đường chéo EG = FH.

Vậy EG = FH.

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Trả lời:

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm).

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có:  BH² + AH² = AB²

Suy ra AH² = AB² – BH²

Suy ra AH² = AB² – 4      (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có: HD² + AH² = AD²

Suy ra AH² = AD² – HD²

Suy ra AH² = AD² – 3     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB² – 4 = AD² – 36       (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB²  = 8² = 64

Thay AB² = 64 – AD²  vào (3). Giải ra ta được AD² = 48 hay AD=4√3

Suy ra AB = 4 cm.

Vậy AD=4√3cm và AB = 4 cm.

Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AECH là hình gì?

Trả lời:

Xét tứ giác AECH có

          I là trung điểm của AC (gt);

I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Lại có  = 90^o nên AECH là hình chữ nhật (dhnb)

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Trả lời:

 ABC cân tại A  AC = AB (1)

BM, CN là đường trung tuyến  M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB (2)

 AM = MC = ; AN = NB =  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = MC = AN = NB

Xét  AMB và  ANC có

          AB = AC

           chung

          AM = AN

  AMB =  ANC (g – c – g)

 MB = NC

Có P là điểm đối xứng của M qua G  GM = GP

Q là điểm đối xứng của N qua G  GN = GQ

  MP = NQ

Xét hình tứ giác MNPQ có

          GM = GP

          GN = GQ

 MNPQ là hình bình hành (vì G là trung điểm của hai đường chéo MN và PQ)

Có MP = NQ nên MNPQ là hình chữ nhật

Bài 6: Cho tứ giác ABCD, trong đó  +  = 150^o. Tính tổng góc  +

Trả lời:

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360^o

Khi đó ta có:  +  +  +  = 360^o

  +  = 360^o – ( + ) = 360^o – 150^o = 210^o

Bài 7: Cho hình thang ABCD có AB // CD và  –  = 30^o. Tính số đo góc C

Trả lời:

Vì hình thang ABCD có AB // CD nên  +  = 180^o (tổng hai góc trong cùng phía)

  = 180^o –

Mà  –  = 30^o nên 180^o –  –  = 30^o   = 75^o

  = 180^o –  = 180^o – 75^o = 105^o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180^o –  = 180^o – 107^o  = 73^o

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 12cm, đáy lớn CD = 22cm, cạnh bên BC = 13cm. Tính đường cao AH

Trả lời:

Ta có: DH = (CD – AB) = (22 – 12) = 5 cm

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 13 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

AD² = AH² + DH²

⇒ AH² = AD² – DH² = 13² – 5²

⇒ AH = 12

Vậy AH = 12cm

Bài 9: Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

Trả lời:

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm

Do ABCD là hình thoi nên AC  BD

AH = AC = .10 = 5 (cm)

HB = BD = .24 = 12 (cm)

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:

AB² = AH² + HB² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

 AB = 13cm

Bài 10: Tỉ số độ dài hai cạnh của hình bình hành là 3 : 5. Còn chu vi của nó bằng 48cm. Độ dài cạnh kề của hình bình hành

Trả lời:

Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là a và b với a, b > 0

Theo bài ra ta có:  =

Nửa chu của hình bình hành là: 48 : 2 = 24cm

Suy ra: a + b = 24cm. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 =  =  =  = 3

⇒ a = 3.3 = 9; b = 3.5 = 15

Vậy hai cạnh của hình bình hành là 9cm và 15cm

Bài 11: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ AN ⊥ AM (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng

1. a) AM = AN
2. b) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Trả lời:

1. a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết của hình vuông ABCD ta được:

⇒ Δ ABM = Δ ADN( g - c - g )

Do đó AM = AN (cặp cạnh tương ứng bằng nhau)

1. b) Ta có IA, IC lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông AMN, CMN.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng vói cạnh huyền của hai tam giác vuông trên và định nghĩa ta có:

Chứng tỏ hai điểm B và I cách đều hai điểm A và C nên BI là đường trung trực của đoạn AC.

Mà theo tính chất của hình vuông thì BD là đường trung trực của AC mà đoạn AC chỉ có một đường trung trực nên BI trung với BD hay B,I,D thẳng hàng.

Bài 12: Cho hình vuông ABCD. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của AD và DC.

1. a) Chứng minh rằng BI ⊥
2. b) Gọi E là giao điểm của BI và AK. Chứng minh rằng CE = AB.

Trả lời:

Xét Δ BAI và Δ ADK có:

⇒ Δ BAI = Δ ADK ( c - g - c )

⇒  =  (góc tương ứng bằng nhau)

Mà  +  = 90⁰ ⇒  +  = 90⁰ 

+ Xét Δ ABE có  +  +  = 180⁰

⇒  = 180⁰ - (  +  ) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ hay AK ⊥ BI (đpcm)

+ Xét tứ giác EBCK có  +  +  +  = 360⁰

⇒  + = 180⁰.

Mà  +  = 180⁰ nên   =  

+ Tứ giác EBCK nội tiếp nên   =  

Mà  =  nên   =  hay tam giác BEC cân tại C

⇒ CE = BC = AB (đpcm)

Bài 13: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 3cm, đường AH = 5cm, và   = 45^o. Độ dài đáy lớn CD bằng.

Trả lời:

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  = 45^o

Do đó DH = AH = 5cm

Mà DH = (CD – AB)

Suy ra CD = 2DH + AB = 2.5 + 3 = 13 (cm)

Vậy CD = 13 cm

Bài 14:  Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE. Tứ giác BDEC là hình gì?

Trả lời:

Tam giác ADE có AD = AE (gt) nên tam giác ADE cân tại A.

Suy ra  =  = (180^o – ) : 2 (1)

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên  =  = (180^o – ) : 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra  =  

Mà 2 góc  và  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE // BC

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang

Lại có  =  (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

Bài 15: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh DE = BD + CE

Trả lời:

Vì DE // BC (gt) nên:

        =  (sol e trong)

Mà  =  (gt) nên:

        =

 Tam giác BDI cân tại D

 DI = DB (1)

Ta có IE // CB (gt) nên:

        =  (sol e trong)

Mà  =  (gt) nên:

        =

 Tam giác EIC cân tại E

EI = EC (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: DI + EI = BD + CE

⇒ DE = BD + CE

Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?

Trả lời:

Ta có AB = AM + MB và AC = AN + NC

Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A) và BM = NC (gt)

Suy ra AN = AM

Xét tam giác AMN cân tại A   =

Xét tam giác ANM có:  +  +  = 180^o (tổng ba góc trong một tam giác)

  =  ( = ) (1)

Xét tam giác ABC cân tại A ta có:  +  +  = 180^o (tổng ba góc trong một tam giác)

  =  ( = ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  =

Mà  và  là hai góc đồng vị nên MN // BC

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có  =  (do ΔABC cân tại A) nên MNCB là hình thang cân

Bài 17: Tính chiều cao của hình thang cân ABCD, biết rằng cạnh bên AD = 5cm, cạnh đáy AB = 6cm và CD = 14cm.

Trả lời:

Kẻ AH ⊥ CD, BK ⊥ CD thì AH//BK nên hình thang ABKH có hai cạnh bên song song.

Áp dụng tính chất của hình thang ABKH có hai cạnh bên song song, ta có:

Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác ADH vuông tại H ta được:

AD² = DH² + HA² hay 5² = 4² + HA²

⇔ AH² = 3² ⇔ HA = 3( cm ) (vì AH > 0 ).

Vậy chiều cao của hình thang cân là 3cm.

Bài 18: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K lần lượt là các chân đường cao kẻ từ kẻ từ B và C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng HE = DK.

Trả lời:

Vì BD, CE là đường cao của tam giác ABC nên  do đó Δ BDC vuông tại D, Δ CEB vuông tại E.

Gọi M là trung điểm của BC

⇒ DM, EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của Δ BDC và Δ CEB.

Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác trên ta được:

⇒ DM = EM ⇒ Δ MDE cân tại M.

Từ giả thiết ta có tứ giác BHKC là hình thang vuông nên vẽ MI ⊥ DE thì BH//MI//CK  (vì cùng vuông góc với đường thẳng DE) (1)

Mà ta có BM = MC    (2) (do ta vẽ hình trên)

Từ (1),(2) suy ra BH, MI, CK là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng HK hai đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau là HI = IK    (3).

Áp dụng tính chất của đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân MDE ta được:

EI = ID    (4).

Trừ theo vế đẳng thức (3) cho (4), ta được: HE = DK.

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H thuộc AC sao cho BH vuông góc với AC. Tính độ dài AH biết AB = 15 cm, BC = 10 cm

Trả lời:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC = 15 cm

Suy ra AH = 15 – HC = 15 – HC (cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB² = AH² + BH²  BH² = AB² – AH²

Xét tam giác BCH vuông tại H, ta có: BC² = BH² + HC²  BH² = BC² – HC²

 AB² – AH² = BC² – HC²

 AB² – (15 – HC)² = BC² – HC²

 15² – (15 – HC)² = 10² – HC²

 225 – 225 + 30HC – HC² = 100 – HC²

 30HC – 100 = 0

 HC =  cm

 AH =  cm

Bài 20: Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau.

Trả lời:

Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao AH ⊥ BC, AK ⊥ CD

Ta cần chứng minh: AH = AK.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết của hình thoi ABCD, ta có:

 ⇒ Δ ABH = Δ ADH ( g - c - g )

⇒ AH = AK (cặp cạnh tương ứng bằng nhau) (đpcm)