Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp (P4)

ÔN TẬP CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE.

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP (PHẦN 4)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Từ một điểm M tùy ý trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AC tại N và kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại P. Gọi I là trung điểm của đoạn NP. Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Trả lời:

Xét tứ giác APMN có:

• MN // AP (vì MN // AB)
• MP // AN (vì MP // AC)

Do đó tứ giác APMN là hình bình hành.

Suy ra hai đường chéo AM, NP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của đoạn NP, nên I là trung điểm của đoạn thẳng AM.

Bài 2: Cho hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Gọi A’, B’ là các điểm sao cho O là trung điểm của AA’, BB’. Chứng minh rằng A’B’ = AB và đường thẳng A’B’ song song với đường thẳng AB.

Trả lời:

Ta có hai điểm A, B phân biệt và điểm O không nằm trên đường thẳng AB.

Mà O là trung điểm của AA’, BB’ nên O là trung điểm của hai đường chéo của tứ giác ABA’B’.

Do đó tứ giác ABA’B’ là hình bình hành.

Suy ra A’B’ = AB (định lí 1a) và A’B’ // AB (định nghĩa hình bình hành).

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

1. a) Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành;
2. b) EF = AD, AF = EC.

Trả lời:

1. a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = AB, CF = DF = CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

• Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

• Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

1. b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.

Bài 4: Tính các góc của hình thang cân, biết có một góc bằng 60⁰

Trả lời:

Xét hình thang cân ABCD ( AB//CD ) có  = 60⁰

Theo định nghĩa và giả thiết về hình thang cân ta có:  

Do góc A và góc D là hai góc cùng nằm một phía của

AB//CD nên chúng bù nhau hay  +  = 180⁰.

⇒  = 180⁰ -  = 180⁰ - 60⁰ = 120⁰.

Do đó  =  = 120⁰.

Vậy  =  = 60⁰ và  =  = 120⁰.

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có  = 70⁰,  = 90⁰. Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại O. Tính số đo góc  ?.

Trả lời:

Áp dụng định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng 360⁰.

Ta có  +  +  +  = 360^o ⇒  + = 360⁰ - (  + ) = 360⁰ - ( 70⁰ + 90⁰ )

⇒  +  = 200⁰.

Theo giả thiết, ta có OC,OD là các đường phân giác

Khi đó ta có

⇒  +  =  +  + = 2 + 2

⇔ 2(  + ) = 200⁰ ⇔  +  = 100⁰.

Xét Δ OCD có

 + +  = 180⁰ ⇒   = 180⁰ - (  + ˆ ) = 180⁰ - 100⁰ = 80⁰.

Vậy   = 80⁰.

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có  = 2. Tính số đo các góc của hình bình hành

Trả lời:

ABCD là hình bình hành nên  = ,  =

Khi đó ta có:  +  +  +  = 360^o

 2 + 2 = 360^o

  +  = 180^o

 2 +  = 180^o

 3 = 180^o

  = 60^o

  = 2 = 2. 60^o = 120^o

Vậy  =  = 120^o,  =  = 60^o

Bài 7: Hai đường chéo của hình thoi có độ dài lần lượt là 8cm và 10cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi

Trả lời:

Độ dài cạnh của hình thoi là:

  =  =  =  (cm)

Bài 8: Tứ giác ABCD có  = 70^o,  = 80^o,  –  = 20^o. Tính số đo các góc A và B.

Trả lời:

Xét tứ giác ABCD có:

          +  +  +  = 360^o (định lí)

Hay  +  + 70^o + 80^o  = 360^o

  +  = 360^o – 80^o – 70^o = 210^o

  = (210^o + 20^o) : 2 =  115^o

  = 210^o – 115^o = 95^o

Bìa 9: Cho tứ giác MNPQ có  = 70^o;  = 112^o;  = 68^o. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh Q

Trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có:

          +  +  +  = 360^o (định lí)

Hay 70^o + 112^o + 68^o +  = 360^o

  = 360^o – 70^o – 112^o – 68^o = 110^o

Góc ngoài tại đỉnh B có số đo là: 180^o –  = 180^o – 110^o  = 70^o

Bài 10: Cho tứ giác ABCD có  = 100⁰. Tổng số đo các góc ngoài đỉnh B, C, D

Trả lời:

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là ; ; ;

 +  = 180^o   = 180^o –  = 180^o – 100^o = 80^o

 +  +  +  = 180^o –  + 180^o –  + 180^o –  + 180^o –

                        = 720^o – ( +  +  + )

                        = 720^o – 360^o = 360^o

 +  +  +   = 360^o   +  +  = 360^o –  

                                                  +  +  = 360^o – 80^o = 280^o

Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật.

Trả lời:

ABC cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác.

Do đó  = 90^o và  =

Ta có AH // DN (vì cùng vuông góc với BC)

  =  (cặp góc đồng vị);  =  (cặp góc so le trong).

Do đó  =  (vì  =  )

Vậy AMN cân tại A mà AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao,  = 90^o

Tứ giác AKDH  có  =  =  90^o nên tứ giác AKDH là hình chữ nhật.

Bài 12:  Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Chứng minh EFGH là hình vuông.

Trả lời:

Vì ABCD là hình vuông  AB = BC = DC = AD

Có AE = BF = CG = DH

 AH = BE = CF = DG (1)

Xét AEH và BFE có

          AE = BF (gt)

           =  (= 90^o)

          AH = BE (cmt)

 AEH = BFE (c – g – c)  EH = FE

Tương tự AEH = CGF (c – g – c)  EH = GF

                AEH = DHG (c – g – c)  EH = HG

 EH = FE = GF = HG

Mặt khác, vì AEH = BFE   =

Suy ra  +  = 90^o   = 90^o (2).

Từ (1), (2) suy ra EFGH là hình vuông.

Bài 13: Hình thang vuông ABCD có  =  = 90⁰; AB = AD = 3cm; CD = 6cm. Tính số đo góc B và C của hình thang?

Trả lời:

Kẻ BE ⊥ CD thì AD // BE do cùng vuông góc với CD

+ Hình thang ABED có cặp cạnh bên song song là hình bình hành.

Áp dụng tính chất của hình bình hành ta có

AD = BE = 3cm.

Xét Δ BEC vuông tại E có

BE = 3cm

EC = CD – DE = 6 – 3 = 3cm

⇒ Δ BEC là tam giác vuông cân tại E.

Bài 14: Cho Δ ABC có  = 50⁰, điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC. Tính số đo góc  = ?

Trả lời:

Theo giả thiết ta có:

+ D đối xứng với M qua AB.

+ E đối xứng với M qua AC.

+ A đối xứng với A qua AB, AC.

AD đối xứng với AM qua AB, AE đối xứng với AM qua AC.

⇒ Áp dụng tính chất đối xứng ta có:

⇒ AD = AE

+  đối xứng  qua AB

+  đối xứng  qua AC.

Áp dụng tính chất đối xứng trục, ta có:

⇒  +  =  +  = 50⁰ ⇒  = 2 = 100⁰.

Vậy  = 100⁰.

Bài 15: Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = AC và  =  . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC .

Vì AD = AC nên AD = AO.

Vẽ AH ^ OD, OK ^ AB.

Xét DAOD cân tại A, AH là đường cao

Þ AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó HO = HD và  =  

Vì  =   nên  =  =

 AOK = AOH (cạnh huyền, góc nhọn)

 OK = OH =  OD  OK =  OB   = 30^o

Xét DABH vuông tại H có  = 30^o nên  = 60^o suy ra  = 90^o

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90^o), các đường cao BD và CE. Kẻ đường vuông góc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K.

1. a) Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng .
2. b) Chứng minh rằng BKDH là hình chữ nhật.

Trả lời:

1. a) Ta có: phụ , phụ , mà  =  nên  =  (1).

HK // CE nên  =  (đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra:  =  = , do đó BOH cân tại O, suy ra OB = OH (3).

1. b) Ta có phụ , phụ , mà  =  (chứng minh trên) nên  =

Do đó ODH cân tại O, suy ra OD = OH (4).

ABD = ACE (cạnh huyền – góc nhọn) nên AD = AE.

Các tam giác cân ADE và ABC có chung góc ở đỉnh A nên các góc ở đáy bằng nhau  =   DE // BC

Do đó  = ,  =  (so le trong).

Ta lại có  =  (chứng minh trên) nên  = , suy ra OD = OK (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra: OB = OH = OD = OK

Tứ giác BKDH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.

Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = MA² + MB² + MC² + MD²

Trả lời:

ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD =  = 10

Ta đặt MA = x, MC = y

Xét ba điểm M, A, C ta có MA + MC  AC

Do đó x + y  10  (x + y)²  100 hay x² + y² + 2xy  100 (1)

Mặt khác, (x – y)²  0 hay x² + y² – 2xy  0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(x² + y²)  100

 x² + y²  50

Dấu “=” xảy ra  M nằm giữa A và C và MA = MC  M là trung điểm của AC

Chứng minh tương tự ta được MB² + MD²  50

Dấu “=” xảy ra  M nằm giữa B và D và MB = MD  M là trung điểm của BD

Vậy MA² + MC² + MB² + MD²  100

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Bài 18: Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

1. a) Chứng minh OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA
2. b) Chứng minh < OA + OB + OC + OD

Trả lời:

1. a) Xét tam giác OAB ta có OA + OB > AB (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có OC + OD > CD; OB + OC > BC; OA + OD > AD

Cộng vế với vế ta được

       OA + OB + OC + OD + OB + OC + OA + OD > AB + BC + CD + AD

⇔ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA

⇔ OA + OB + OC + OD > 

1. b) Xét tam giác ABC có AB + BC > AC (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có BC + CD > BD; CD + DA > AC; AD + DB > BD

Cộng vế với vế ta được

       AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB > AC + BD + AC + BD

⇔ 2(AB + BC + CD + DA) > 2(AC + BD)

⇔ AB + BC + CD + DA > AC + BD

mà AC + BD = OA + OC + OB + OD

 OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A ( < 90^o), các đường cao BD và CE. Kẻ đường vuông góc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K.

1. a) Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng .
2. b) Chứng minh rằng BKDH là hình chữ nhật.

Trả lời:

1. a) Ta có: phụ , phụ , mà  =  nên  =  (1).

HK // CE nên  =  (đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra:  =  = , do đó BOH cân tại O, suy ra OB = OH (3).

1. b) Ta có phụ , phụ , mà  =  (chứng minh trên) nên  =

Do đó ODH cân tại O, suy ra OD = OH (4).

ABD = ACE (cạnh huyền – góc nhọn) nên AD = AE.

Các tam giác cân ADE và ABC có chung góc ở đỉnh A nên các góc ở đáy bằng nhau  =   DE // BC

Do đó  = ,  =  (so le trong).

Ta lại có  =  (chứng minh trên) nên  = , suy ra OD = OK (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra: OB = OH = OD = OK

Tứ giác BKDH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.

Bài 20: Cho tam giác ABC có đường cao AH (H  BC). Biết rằng AH² = BH.CH. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có

+ Xét tam giác ABH vuông tại H có AB² = BH² + AH²

+ Xét tam giác ABH vuông tại H có AC² = AH² + CH²

Cộng từng vế hai đẳng thức, ta được

AB² + AC² = BH² + 2.AH² + CH²

Theo giải thiết AH² = BH.CH nên

AB² + AC² = BH² + 2. BH.CH + CH² = (BH + CH)² = BC²

Vậy AB² + AC² = BC²

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại A