ÔN TẬP CHƯƠNG VI: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (PHẦN 3)

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

Trả lời:

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)
5. e)
6. f)
7. g)

1. h)

Bài 2: Cho  thoả mãn và . Tính giá trị của biểu thức

Trả lời:

Từ giả thiết suy ra

Vậy ta có

Bài 3: Tìm GTNN của phân thức

1. a)
2. b)

Trả lời:

1. a)

 GTNN của biểu thức là  khi

1. b)

GTLN của biểu thức là khi

Bài 4: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

1. a) b)
2. c) d)

Trả lời:

1. a)

b)

1. c)
2. d) Ta thấy VT = VP (đpcm)

Bài 5: Cho phân thức    với 

Chứng tỏ rằng giá trị phân thức luôn luôn không âm khi nó được xác định.

Trả lời:

Vậy giá trị phân thức luôn luôn không âm khi nó được xác định.

Bài 6: Thực hiện phép tính:

1. a) b)
2. c) d)   
3. e)

Trả lời:

1. a)

1. b)
2. c)
3. d)
4. g)

Bài 7: Số nào lớn hơn    và .

Trả lời:

Ta có .

Bài 8: Rút gọn phân thức

Trả lời:

Xét tử thức

Vậy

Bài 9: Cho

1. a) Tìm điều kiện xác định của A
2. b) Rút gọn A
3. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Trả lời:

1. a) Để A xác định thì
2. b)
3. c)

Do  nên

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là  khi

Bài 10: Cho phân thức

1. a) Tìm điều kiện để giá trị của biểu thức xác định.
2. b) Rút gọn biểu thức .

Trả lời:

1. a) Điều kiện để giá trị của biểu thức xác định

  vì  > 0 và  > 0

1. b)

Bài 11: Cho phân thức:  . Chứng tỏ  luôn nhận giá trị âm với mọi  

Trả lời:

 với

Bài 12: Cho biểu thức

1. a) Rút gọn biểu thức và tìm điều kiện của để giá trị của  được xác định.
2. b) Tính giá trị của biểu thức tại .

Trả lời:

Điều kiện: .

1. a)
2. b) Tại thì

Tại  thì

Tại  thì giá trị của  không xác định.

Bài 13: Cho a và b là các số thoả mãn  và . Tính giá trị của biểu thức  

Trả lời:

Từ

Vì  do đó

Vậy

Bài 14: Cho các số  thỏa mãn  và . Chứng minh rằng .

Trả lời:

Ta có:

Ta có

Từ  và  suy ra .

Bài 15: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , giá trị của biểu thức sau là một số tự nhiên 

Trả lời:

, là một số tự nhiên.

(Tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2)

Bài 16: Chứng minh rằng tổng các phân thức sau bằng tích của chúng

Trả lời:

Ta cần chứng minh   

Dùng phương pháp biến đổi tương đương ta có:

. Ta được điều phải chứng minh

Bài 17: Tính giá trị của biểu thức

Trả lời:

Bài 18: Với a,b,c,d dương, chứng minh rằng 2

Trả lời:

                            (Theo bất đẳng thức xy )

Mặt khác 2(a² + b² + c² + d² + ab + ad + bc + cd) – (a + b + c + d)²

                = a² + b² + c² + d² – 2ac – 2bd = (a - c)² + (b - d)² 0

Suy ra F  2 và  xảy ra ó a = c; b = d.

Bài 19: Cho phân thức M =

1. a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa.
2. b) Rút gọn biểu thức M.

Trả lời:

1. a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0.

Xét (a + b + c)² - (ab + bc + ca) = 0    

a² + b² + c² + ab + bc + ca = 0.

2a² + 2b² + 2c² +2ab + 2bc + 2ca = 0

(a + b)² + (b + c)² + (c + a)² = 0

 a + b = b + c = c + a

 a = b = c.

Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0,  tức là a² + b² c²  0.

1. b) Do (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca, do đó dặt a² + b² + c² = x;

ab + bc + ca = y.

Khi đó (a + b + c)² = x + 2y.

Ta có M =

(Điều kiện là a² + b² c²  0)

Bài 20: Cho các số  thỏa mãn  và

Chứng minh rằng

Trả lời:

Như vậy tương tự ta có

Mà

Như vậy ta có

(theo đúng điều kiện đề bài cho)