BÀI 3. GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ

KHỞI ĐỘNG

Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ sau, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Đáp án:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

Khoảng cách giữa hai cây bên kia bờ sông là: 

  53,9 (m)

1. GIẢI TAM GIÁC

Bài 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

1. a = 17,4; 
2. a = 10; b = 6; c = 8

Đáp án:

1. a) Ta có: = 180-  -  

= 180 - 4430’ - 64 = 7130’

Áp dụng định lí sin, ta có:

 =  =

 b =  =  ≈ 12,9

      c =  =  ≈ 16,5

1. b) Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

cosA =  =  = 0

  = 90

Áp dụng định lí sin, ta có:  =

 sinB =  =  =

  = 3652’

  = 180 - 90 - 3652’ = 538’

2. ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN VÀO THỰC TẾ

Bài 1: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc 25 về phía tây với tốc độ 630km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilomet? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Đáp án:

Đổi 90' = 1,5h

Quãng đường máy bay thứ nhất bay được sau 90 phút là: OA = 450.1,5 = 675 (km)

Quãng đường máy bay thứ hai bay được sau 90 phút là: OB = 630. 1,5 = 945 (km)

Ta có:  = 90 - 25 = 65

Áp dụng định lí côsin, ta có:

AB² = OA² + OB² - 2. OA. OB. cos

= 675² + 945² - 2. 675. 945. cos65

≈ 809494,75  AB ≈ 889,7 (km)

Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 899,7 km.

Bài 2: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Đáp án:

Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

cos =  =  ≈ 0,89

  = 2639’

cos =  =  ≈ 0,85

  = 3149’

  =  + ≈ 2639’ + 3149’

= 5828’

Áp dụng định lí côsin, ta có:

CR² = HC² + HR²  - 2HC. HR. cos

= 78² + 77² - 78. 77. cos5828’ ≈ 5730,79

CR ≈ 75,7 (km)

Vậy Châu Đốc và Rạch Giá cách nhau khoảng 75,7 km.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1. Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

1. AB = 14; AC = 23, .
2. BC = 22,  
3. AC = 22,  = 120; = 28
4. AB = 23; AC = 32; BC = 44.

Đáp án:

1. a) .

Áp dụng định lí côsin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2. AB. AC. cosA = 14² + 23² - 2. 14. 23.cos125 ≈ 1 094,38

 BC ≈ 33,08.

Áp dụng định lí sin, ta có:

Vì , suy ra .

1. b)

Áp dụng định lí sin, ta có:

suy ra AB ≈ 13,85; AC ≈ 20,22.

1. c) AC = 22; = 120; = 28

 = 180 -  -  = 180 - 120 - 28 = 32

Áp dụng định lí sin, ta có:

suy ra BC ≈ 13,46; AB ≈ 11,93.

44. d) AB = 23; AC = 32; BC = 44.

Áp dụng hệ quả định lí côsin, ta có:

Áp dụng định lí sin, ta có:

Vì , suy ra .

Bài 2. Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70∘. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B. 

Đáp án:

Ta có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

Vậy so với việc nối thẳng từ  đến  người ta tốn thêm  (km dây).

Bài 3. Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16m và nhìn thầy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5 (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đât là 1,5m.

Đáp án:

Khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất:

Bài 4. Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32 và 40 (Hình 9).

Đáp án:

Ta có: .

Áp dụng định lí sin trong , ta có:

Trong , ta có:

Bài 5. Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32 so với phương ngang, cách nhau 60m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Đáp án:

Ta có: ,

Áp dụng định lí sin cho , ta có:

Bài 6. Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62 và điểm mốc khác là 54 (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Đáp án:

Ta có: ,

Xét .

Xét .

Áp dụng định lí côsin trong , ta có: