Đáp án Toán 12 kết nối tri thức Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

BÀI 15: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

a) Vecto chỉ phương của đường thẳng

Hoạt động 1: Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

Trong không gian, cho điểm M và vectơ  khác vectơ – không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?

a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của  .

b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của  .

Hướng dẫn chi tiết:

Khẳng định b) đúng

Luyện tập 1: 

Cho hình lăng trụ (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng ?

Hướng dẫn chi tiết:

Những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng là:

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Hoạt động 2: Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian , một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi  và xuất phát từ điểm (H.5.26).

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)? 

b) Giả sử tại thời điểm tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí . Tính theo và .

Hướng dẫn chi tiết:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng qua A và song song với giá của vectơ (đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương )

b) Tại thời điểm tính từ khi xuất phát, vật thể ở vị trí nên:

Luyện tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc và một vectơ chỉ phương của ∆.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ và có vectơ chỉ phương

Hướng dẫn chi tiết:

a) Do có phương trình  nên điểm và điểm thuộc và là một vecto chỉ phương của .

b) Đường thẳng có phương trình:

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Hoạt động 3: Hình thành khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương (a, b, c là các số khác 0).

a) Điểm thuộc khi và chỉ khi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

b) Điểm thuộc khi và chỉ khi các phân số có mối quan hệ gì?

Hướng dẫn chi tiết:

a) Điểm thuộc khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương

b) Đường thẳng có phương trình:

Điểm thuộc nên toạ độ của M thoả mãn:

Luyện tập 3:  

Trong không gian , cho đường thẳng . Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của và 2 điểm thuộc

Hướng dẫn chi tiết:

Đường thẳng có phương trình nên 2 điểm và thuộc và là một vecto chỉ phương của .

Luyện tập 4:

Trong không gian , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Hướng dẫn chi tiết:

Phương trình tham số của

Phương trình chính tắc của

Luyện tập 5:

Trong không gian , viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

Hướng dẫn chi tiết:

Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là . Giá của và cùng vuông góc với nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó nhận làm một vecto chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là: