Giáo án dạy thêm Toán 12 kết nối Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt phẳng” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Nhắc lại khái niệm vectơ chỉ phương, dạng phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng.

2. Trình bày cách xác định hai đường thẳng vuông góc, cách nhận biết vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập  

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Phương trình đường thẳng

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Khái niệm:

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của   song song hoặc trùng với .

Chú ý:

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương. 

• Nếu là một vectơ chỉ phương của thì (với là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của .

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ .

a) Hãy kể tên các vectơ chỉ phương của đường thẳng .

b) Hãy kể tên các vectơ chỉ phương của đường thẳng . 

Giải

a) Vì nên các vectơ chỉ phương của đường thẳng là: .

b) Các vectơ chỉ phương của đường thẳng là: .

b) Phương trình tham số của đường thẳng.

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm   và có vectơ chỉ phương . Hệ phương trình

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng là tham số,  .

Chú ý:

• Với các số không đồng thời bằng 0, hệ phương trình xác định một đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian , cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương với là các số khác 0.

Hệ phương trình:

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng  . 

Ví dụ 2: Trong không gian , viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là .

Giải

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:

Và phương trình chính tắc là:

d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong kông gian, cho hai điểm phân biệt và . Đường thẳng có vectơ chỉ phương .

• Đường thẳng có phương trình tham số là: ( .

• Trong trường hợp thì đường thẳng có phương trình chính tắc là:

Ví dụ 3: Trong không gian , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm và .

Giải

Ta có

Đường thẳng qua nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là:

2. Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian , cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:

Ví dụ 4: Trong không gian , cho và . Chứng minh hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Giải

Ta có: có vectơ chỉ phương lần lượt là .

Xét .

Vậy .

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian , cho hai đường thẳng   lần lượt đi qua các điểm ,
và tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:

• cùng phương với và .

• cùng phương với và .

• và cắt nhau

• và chéo nhau .

Chú ý:

Để xét vị tri tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian , cho hai đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:

Xét hệ phương trình hai ẩn :

Khi đó:

• cùng phương với và hệ (*) vô nghiệm.

• Hệ (*) có vô số nghiệm.

• cắt Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

• và chéo nhau và không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

Ví dụ 5: Trong không gian , xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: và .

Giải

Ta có các vectơ chỉ phương của và lần lượt là và .

Vì nên và cùng phương.

và song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm , ta có nên .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Phương pháp giải: 

+ Trong không gian , vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì vectơ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

+ Phương trình tham số có vectơ chỉ phương (hệ số trước ).

+ Phương trình chính tắc có vectơ chỉ phương (hệ số ở mẫu).

+ Gọi là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng . Nếu có 2 vectơ không cùng phương và thì chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng là hoặc .

Bài 1. Trong không gian , xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng dưới đây:

a)                 b)             c)

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa tộ , cho các điểm ,  ; các đường thẳng các mặt phẳng . Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:

a) Đường thẳng .

b) Đường thẳng đi qua và song song với .

c) Đường thẳng .

d) Đường thẳng qua và song song với .

e) Đường thẳng qua và vuông góc với .

f) Đường thẳng qua , vuông góc với và .

g) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng .

DẠNG 1:

Bài 1. 

a) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

b) Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

c) Ta viết lại  

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

Bài 2. 

a) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .

b) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là . 

Ta có nên cũng là 1 vectơ chỉ phương của .

c) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương là .

d) Đường thẳng nên có 1 vectơ chỉ phương là .

e) Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là . Đường thẳng nên có 1 vectơ chỉ phương là .

f) Gọi là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Ta có:

Ta có nên .

g) Gọi là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Vì là giao tuyến của hai mặt phẳng nên . 

Khi đó .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Lập phương trình đường thẳng

Phương pháp giải: 

Loại 1: đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

Phương trình hoặc nếu .

Loại 2: đi qua hai điểm :

+ Chọn hoặc là điểm mà đi qua.

+ Nhận làm vectơ chỉ phương.

Loại 3: Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng .

+ Tìm tọa độ một điểm bằng cách giải hệ phương trình .

+ Vectơ chỉ phương của là

Loại 4: Đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

+ Gọi

+ Giải hệ phương trình: , từ đó tìm tọa độ .

+ Lập phương trình đi qua và có vectơ chỉ phương là .

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm , ; đường thẳng ; mặt phẳng . Viết phương trình của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua có một vectơ chỉ phương .

b) Đi qua hai điểm .

c) Đi qua và song song với trục hoành.

d) Đi qua và vuông góc với  . 

Bài 2. Trong không gian , cho các điểm ; các đường thẳng ; các mặt phẳng . Viết phương trình của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua và vuông góc với các đường thẳng .

b) Qua và vuông góc với đường thẳng và trục .

c) Qua và song song với 2 mặt phẳng .

d) Qua , song song với và vuông góc với  .

e) là giao tuyến của hai mặt phẳng .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình đường thẳng đi qua cắt và vuông góc với đường thẳng .

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng , song song với và cắt đường thẳng  .

Bài 5. Trong không gian , cho đường thẳng và . Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng .

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) Đường thẳng đi qua và có 1 vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

b) Đường thẳng đi qua và có 1 vectơ chỉ phương , có phương trình tham số là .

c) Đường thẳng đi qua và song song với trục nên nhận làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số:  .

d) Đường thẳng đi qua . Mặt phẳng có 1 vectơ pháp tuyến là . Đường thẳng vuông góc với nên nhận làm 1 vectơ chỉ phương. Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là:

Bài 2. 

a) Đường thẳng có 1 vectơ chỉ phương .

Gọi là vectơ chỉ phương của . Ta có nên

Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là: 

b) Ta có: , trục có vectơ chỉ phương là .

Gọi là vectơ chỉ phương của . Ta có nên

Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: .

c) Ta có: là 1 vectơ pháp tuyến của ; là 1 vectơ pháp tuyến của .

…………………