Giáo án điện tử chuyên đề Toán 12 chân trời Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Bạn Hà tham gia trò chơi gieo đồng xu trúng thưởng với luật chơi như sau:

Ở mỗi lượt chơi, bạn Hà gieo đồng thời hai đồng xu cân đối và đồng chất. Nếu cả hai đồng xu đều sấp, bạn Hà được thưởng 4 quyển vở; nếu có đúng 1 đồng xu sấp, bạn Hà được thưởng 1 quyển vở; còn nếu không có đồng xu nào sấp, bạn Hà không được thưởng. Gọi là số quyển vở bạn Hà được thưởng sau 1 lượt chơi.

Xác suất nhận giá trị bằng bao nhiêu là cao nhất?

CHUYÊN ĐỀ 3: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

BÀI 1: BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

kenhgiaovien

/

• Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên kenhgiaovien.com
• Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.
• Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.

Zalo: 0386 168 725

01

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc

Biến ngẫu nhiên rời rạc

Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 4. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp.

a) Đại lượng tổng các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị nào?

b) Đại lượng tích các số viết trên 2 thẻ có thể nhận các giá trị nào?

HĐ1

a) Tổng các số viết trên hai tấm thẻ có thể nhận các giá trị là: 3; 4; 5; 6; 7.

b) Tích các số viết trên hai tấm thẻ có thể nhận các giá trị là: 2; 3; 4; 6; 8; 12.

Giải:

Biến ngẫu nhiên rời rạc là một đại lượng nhận một số hữu hạn các giá trị bằng số, các giá trị này là ngẫu nhiên và không thể dự đoán trước được.

KHÁI NIỆM

Chú ý: Các biến ngẫu nhiên rời rạc thường được kí hiệu bởi các chữ in hoa

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

b) Xét đại lượng là trung bình cộng của số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc. có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không? Tại sao?

c) Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố “Giá trị của không vượt quá ”, được kí hiệu là

Giải:

a) Không gian mẫu của phép thử là trong đó là chỉ kết quả số chấm xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai lần lượt là và .

Ví dụ 1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Xác định không gian mẫu của phép thử.

b) Xét đại lượng là trung bình cộng của số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc. có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không? Tại sao?

c) Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố “Giá trị của không vượt quá ”, được kí hiệu là

Giải:

b) Ta không thể dự đoán trước được giá trị của , tuy nhiên ta biết chỉ có thể nhận giá trị thuộc tập hợp gồm hữu hạn phần tử. Do đó là biến ngẫu nhiên rời rạc.

c) Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố là ;

Thực hành 1

Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Các viên bi xanh được đánh số từ 1 đến 5; các viên bi đỏ được đánh số từ 1 đến 7. Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 viên bi từ hộp. Trong các đại lượng sau, đại lượng nào là biến ngẫu nhiên rời rạc?

a) Đại lượng là tổng các số ghi trên hai viên bi.

b) Đại lượng là tích các số ghi trên hai viên bi.

c) Đại lượng bằng 1 nếu hai viên bi cùng màu, bằng 0 nếu hai viên bi khác màu.

Giải:

a) Ta không thể dự đoán được trước giá trị của , tuy nhiên ta biết chỉ có thể nhận giá trị thuộc tập gồm hữu hạn phần tử. Do đó là biến ngẫu nhiên.

b) Ta không thể dự đoán được trước giá trị của , tuy nhiên ta biết chỉ có thể nhận giá trị thuộc tập hợp ; gồm hữu hạn phần tử. Do đó là biến ngẫu nhiên.

c) Ta không thể dự đoán trước được giá trị của , tuy nhiên ta biết chỉ có thể nhận giá trị thuộc tập gồm hữu hạn phần tử. Do đó là biến ngẫu nhiên.

Thực hành 2

Một hộp chứa 10 tấm thẻ giống nhau, trong đó có 1 thẻ là thẻ may mắn. Bạn Khuê rút ngẫu nhiên từng thẻ trong hộp cho đến khi lấy được thẻ may mắn. Gọi là số thẻ bạn Khuê đã rút cho đến khi lấy được thẻ may mắn. Hỏi có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không nếu thẻ đã rút ra không được cho lại vào hộp?

Giải:

Ta không thể đoán trước được giá trị của , tuy nhiên ta biết chỉ có thể nhận giá trị thuộc tập hợp gồm hữu hạn phần tử.

Do đó là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ta có: có thể nhận các giá trị thuộc tập: {16 tuổi, 17 tuổi, 18 tuổi}

Số cách chọn 1 học sinh trong tổng số 44 học sinh là:

Biến cố { = 16 tuổi} là: “Chọn 1 học sinh trong 20 học sinh 16 tuổi”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố { = 16 tuổi} là:

Giải:

Câu lạc bộ bóng rổ của trường có 20 học sinh 16 tuổi, 14 học sinh 17 tuổi và 10 học sinh 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của câu lạc bộ và gọi là tuổi của học sinh đó. Hỏi có thể nhận những giá trị nào? Tính xác suất để nhận mỗi giá trị đó.

HĐ2

Biến cố { = 17 tuổi} là: “Chọn 1 học sinh trong 14 học sinh 17 tuổi”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố { = 17 tuổi} là:

Biến cố { = 18 tuổi} là: “Chọn 1 học sinh trong 10 học sinh 18 tuổi”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố { = 18 tuổi} là:

Giải:

Câu lạc bộ bóng rổ của trường có 20 học sinh 16 tuổi, 14 học sinh 17 tuổi và 10 học sinh 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của câu lạc bộ và gọi là tuổi của học sinh đó. Hỏi có thể nhận những giá trị nào? Tính xác suất để nhận mỗi giá trị đó.

HĐ2

KHÁI NIỆM

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị

Với mỗi , gọi là xác suất nhận giá trị , kí hiệu là

Bảng sau đây được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc hay bảng phân bố xác suất của .

Chú ý: Trong bảng phân bố xác suất của , ta luôn có:

Ví dụ 2: Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc xác định ở Hoạt động khởi động (trang 54).

Giải:

Tập các giá trị có thể của là

Biến cố “ bằng 4” xảy ra khi cả hai đồng xu cũng sấp. Do do

Biến cố “ bằng 1” xảy ra khi có đúng một đồng xu sấp. Do đó

Xác suất của biến cố “ bằng 0” là

Bảng phân bố xác suất củalà

Ví dụ 3: Một túi chứa 5 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên cùng một lúc 3 viên bi từ túi. Gọi là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra.

a) Tìm tập các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên rời rạc

b) Lập bảng phân bố xác suất của

a) Do chỉ có 2 viên bi đỏ nên nếu chọn ra 3 viên bi từ túi thì phải có ít nhất 1 viên bi xanh trong 3 viên bi đó. Vậy tập các giá trị có thể của là

b) Tổng số kết quả có thể xảy ra của phép thử là

• Biến cố “ bằng 1” xảy ra khi chọn ra được 1 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ.

Giải:

• Biến cố “ bằng 2” xảy ra khi chọn ra được 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “ bằng 2” là .
• Biến cố “ bằng 3” xảy ra khi chọn ra được 3 viên bi xanh và không có viên bi đỏ nào. Số kết quả thuận lợi cho biến cố “ bằng 3” là .

Giải:

Ví dụ 4: Minh phải thực hiện hai thí nghiệm. Xác suất thành công của thí nghiệm đầu tiên là 0,8. Xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai bằng 0,9 nếu thí nghiệm đầu tiên thành công và bằng 0,6 nếu thí nghiệm đầu tiên không thành công. Gọi là số thí nghiệm Minh thực hiện thành công. Hãy lập bảng phân bố xác suất của .

Giải:

Ta có sơ đồ hình cây sau:

Ví dụ 4: Minh phải thực hiện hai thí nghiệm. Xác suất thành công của thí nghiệm đầu tiên là 0,8. Xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai bằng 0,9 nếu thí nghiệm đầu tiên thành công và bằng 0,6 nếu thí nghiệm đầu tiên không thành công. Gọi là số thí nghiệm Minh thực hiện thành công. Hãy lập bảng phân bố xác suất của .

Giải:

Bảng phân bố xác suất của là:

Ví dụ 5: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Giải:

a) Do nên suy ra

b) Biến cố “ nhỏ hơn ” xảy ra khi hoặc .

Do đó xác suất của biến cố “ nhỏ hơn ” là

Biến cố đối của biến cố “ nhỏ hơn ” xảy ra khi nên xác suất của biến cố “ nhỏ hơn ” là

a) Xác định giá trị của .

b) Tính xác suất của biến cố “ nhỏ hơn 0,3” và của biến cố “ nhỏ hơn 1”.

Thực hành 3

Bạn Dung tham gia trò chơi ném phi tiêu trúng thưởng với luật chơi như sau:

Ở mỗi lượt chơi, bạn Dung ném một mũi phi tiêu. Nếu bạn Dung ném được vào vòng 10 điểm, bạn Dung được thưởng 2 quả bóng bay, nếu ném được vòng 9 điểm, bạn Dung được thưởng 1 quả bóng bay. Nếu không ném được vào vòng 9 hay 10 điểm thì bạn Dung không được thưởng. Gọi là số bóng bay bạn Dung được thưởng trong một lượt chơi. Lập bảng phân bố xác suất của biết rằng xác suất bạn Dung ném được vào vòng 10 điểm là 0,1 và vòng 9 điểm là 0,2.

Giải:

có thể nhận được các giá trị thuộc tập:

Xác suất bạn Dung không ném được vào vòng 9 điểm và 10 điểm là:

Ta có bảng phân bố xác suất của là:

Kì vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Khảo sát 40 học sinh lớp 12A về số xe máy có ở gia đình mỗi bạn. Kết quả được ghi vào bảng tần số sau:

HĐ3

Ta có:

Giải:

Hỏi trung bình trong mỗi gia đình các bạn lớp 12A có bao nhiêu xe máy?

Bảng phân bố xác xuất là:

Giải:

Trung bình số xe máy trong mỗi gia đình là:

KHÁI NIỆM

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Kì vọng của , kí hiệu , là một số được tính theo công thức sau:

Ví dụ 6: Ở HĐ 3 chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh lớp 12A và gọi là số xe máy có ở gia đình bạn đó.

a) Lập bảng phân bố xác suất của b) Tính kì vọng của .

Do mỗi gia đình các bạn học sinh lớp 12A có từ đến xe máy nên biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị là

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 12A là .

Do có 4 gia đình có xe máy nên số kết quả thuận lợi cho biến cố “ bằng ” là .

Vậy xác suất của biến cố “ bằng ” là

Giải:

Ví dụ 6: Ở HĐ 3 chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh lớp 12A và gọi là số xe máy có ở gia đình bạn đó.

a) Lập bảng phân bố xác suất của b) Tính kì vọng của .

a) Bảng phân bố xác suất của là

Giải:

b) Kì vọng của là

Ý nghĩa của kì vọng

Kì vọng là đại lượng đặc trưng cho độ lớn trung bình của biến ngẫu nhiên . Do đó, kì vọng còn được gọi là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên , nó có thể không phụ thuộc tập các giá trị của biến ngẫu nhiên.

Ví dụ 7: Đầu năm 2022, chị Thuý có 100 triệu đồng. Tại thời điểm đó, lãi suất ngân hàng là 9% một năm (kì hạn một năm) và giá mỗi cổ phiếu ABC là 25 000 đồng. Một chuyên gia cho rằng đến cuối năm 2022, giá cổ phiếu ABC sẽ là 26 000 đồng với xác suất 0,4 và là 30 000 đồng với xác suất 0,6.

a) Giả sử chị Thuý dùng 100 triệu đồng để mua cổ phiếu ABC vào đầu năm 2022. Gọi là số tiền chị Thuý thu được khi bán hết số lượng cổ phiếu đó vào cuối năm 2022. Hãy tính kì vọng của ?

b) Nếu chị Thuý gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng vào đầu năm 2022 và rút sau 1 năm thì thu được bao nhiêu tiền?

c) Trong hai phương án đầu tư trên, phương án nào có khả năng thu được tiền lãi cao hơn? Giả thích.

Giải:

a) Tại thời điểm đầu năm 2022, giá mỗi cổ phiếu ABC là 25 000 đồng nên chị Thuý mua được

100 000 000 : 25 000 = 4 000 (cổ phiếu)

Nếu vào cuối năm 2022, giá mỗi cố phiếu ABC là 26 000 đồng thì

= 26 000 . 4 000 = 104 000 000 (đồng) với xác suất 0,4

Nếu vào cuối năm 2022, giá mỗi cổ phiếu ABC là 30 000 đồng thì

= 30 000 . 4 000 = 120 000 000 (đồng) với xác suất 0,6

Ta có bảng phân bố xác suất của là

Giải:

Kì vọng của là

= 104 000 000. 0,4 + 120 000 000. 0,6 = 113 600 000

b) Nếu chị Thuý gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng vào đầu năm 2022 và rút sau một năm thì chị Thuý thu được số tiền là

100 000 000 . (1 + 9%) = 109 000 000 (đồng)

c) Vì > 109 000 000 nên nếu chị Thuý đầu tư vào cổ phiếu ABC thì sẽ có khả năng nhận được tiền lãi cao hơn so với gửi tiết kiệm vào ngân hàng.

Thực hành 4

Một hộp chứa 3 tấm thẻ cùng loại đánh số từ 1 đến 3.

a) Lấy ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi là số ghi trên thẻ đó. Hãy tính kì vọng của .

b) Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ hộp. Gọi là số lớn hơn trong hai số ghi trên hai tấm thẻ đó. Hãy tính kì vọng của

Giải:

a) có thể nhận các giá trị là:

Số cách lấy ra 1 tấm thẻ trong tổng số 3 tấm thẻ là: .

• Biến cố { = 1} là: “Lấy ra tấm thẻ ghi số 1”
• Biến cố { = 2} là: “Lấy ra tấm thẻ ghi số 2”

Giải:

• Biến cố { = 3} là: “Lấy ra tấm thẻ ghi số 3”

b) có thể nhận các giá trị là:

Số cách lấy ra 2 tấm thẻ trong tổng số 3 tấm thẻ là: .

• Biến cố { = 2} là: “Lấy ra tấm thẻ ghi số lớn hơn là 2”
• Biến cố { = 3} là: “Lấy ra tấm thẻ ghi số lớn hơn là 3” tức là lấy được 1 tấm thẻ ghi số 1 và 1 tấm thẻ ghi số 3 hoặc 1 tấm thẻ ghi số 2 và 1 tấm thẻ ghi số 3

Giải:

Ta có bảng phân bố xác suất của

Giải:

VẬN DỤNG 1

Ở một hội chợ, người ta tổ chức trò chơi có thưởng như sau: Có 3 quả bóng giống nhau được đánh số từ 1 đến 3 và 3 cái hộp giống nhau cũng được đánh số từ 1 đến 3. Người chơi bị bịt mắt và phải cho bóng vào hộp sao cho mỗi hộp có đúng 1 quả bóng. Ứng với mỗi quả bóng cho vào hộp có cùng số với nó, người chơi sẽ được thưởng 2 000 đồng. Trước mỗi lượt chơi, người chơi phải mua vé ở chỗ quản lí với giá 1 000 đồng. Nếu so sánh về mặt trung bình thì người chơi hay quản lí có lợi hơn?

Giải:

Số cách bỏ 3 quả bóng vào hộp là: (cách)

Gọi là số tiền người chơi nhận được ứng với số quả bóng bỏ đúng hộp.

Ta xét các trường hợp sau:

- Nếu quả bóng số 1 được bỏ đúng, hai quả bóng số 2 và số 3 bỏ sai 1 cách.

- Nếu quả bóng số 2 được bỏ đúng, hai quả bóng số 1 và số 3 bỏ sai 1 cách.

- Nếu quả bóng số 3 được bỏ đúng, hai quả bóng số 1 và số 2 bỏ sai 1 cách.

Có 3 cách để bỏ 1 quả bóng đúng hộp.

Ứng với mỗi quả bóng bỏ đúng hộp thì người chơi nhận được đồng (đã trừ số tiền bỏ ra).

- Cả 3 quả bóng được bỏ đúng hộp 1 cách.

Ứng với 3 quả bóng bỏ đúng hộp thì người chơi nhận được đồng.

Người chơi mất đồng.

nhận giá trị thuộc tập

Ta có bảng phân bố xác suất của là:

Gọi là số tiền quản lí mất ứng với số quả bóng bỏ đúng hộp.

- Ứng với 1 quả bóng bỏ đúng hộp thì quản lí mất – 1 000 đồng

- Ứng với 3 quả bóng bỏ đúng hộp thì quản lí mất – 5 000 đồng.

- Không có quả bòng nào bỏ đúng hộp thì quản lí nhận được 1 000 đồng.

nhận giá trị thuộc tập

Ta có bảng phân bố xác suất của là:

Ta thấy

Vậy, người chơi có lợi hơn người quản lí trò chơi.

Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc

Cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc và có bảng phân bố xác suất như sau:

HĐ4

a) Hãy so sánh kì vọng của và kì vọng của .

b) Biến ngẫu nhiên rời rạc nào có các giá trị “phân tán” rộng hơn?

Giải:

a) Ta có:

Giải:

b) Ta có:

Ta thấy

Vậy biến ngẫu nhiên có độ “phân tán” rộng hơn.

KHÁI NIỆM

Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Chú ý: Từ công thức tính và ở trên, ta thấy nếu các giá trị càng cách xa kì vọng thì và càng lớn.

Phương sai của , kí hiệu , được xác định bởi:

Độ lệch chuẩn của , kí hiệu , là căn bậc hai số học của phương sai, nghĩa là: .

Ý nghĩa của kì vọng và độ lệch chuẩn

• Phương sai và độ lệch chuẩn là các số không âm dùng để đo mức độ phân tán các giá trị của một biến ngẫu nhiên rời rạc xung quanh kì vọng của nó. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn.
• Độ lệch chuẩn và biến ngẫu nhiên rời rạc có cùng đơn vị đo.

--------------------------------------

--------------------- Còn tiếp ----------------------