Giáo án và PPT Toán 7 cánh diều Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

BÀI 10: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Hình 96 minh họa một miếng bìa phẳng có dạng hình tam giác đặt thăng bằng trên đầu ngón tay tại điểm G.

Điểm G được xác định như thế nào?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Đường trung tuyến của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1

- HS thực hiện Ví dụ 1.

- HS thực hiện Ví dụ 2.

- HS thực hiện LT1.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1: 

Ta thấy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.

Kết luận:

Trong tam giác ABC (Hình 97), đoạn thẳng AM nói đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Chú ý: 

Đôi khi, đường thẳng 

cũng được gọi là đường trung tuyến của tam giác . 

Ví dụ 1 (SGK -tr104)

+ AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. 

+ DN, CP không là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ví dụ 2 (SGK -tr104).

Nhận xét: 

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

LT1:

K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC nên KH là đường trung tuyến của tam giác AKC.

H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC nên HK là đường trung tuyến của tam giác BHC

Hoạt động 2: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác 

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2.

Hãy quan sát hình vẽ và dự đoán ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm hay không.

- GV đặt câu hỏi: Nêu định lí tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.

- HS thực hiện Ví dụ 3.

- HS thực hiện HĐ3.

- HS thực hiện Ví dụ 4.

- GV chú ý các tính chất về độ dài cạnh.

- HS thực hiện Ví dụ 5.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2:

Ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.

Định lí:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý:

Trong tam giác ABC, ba đường trung tuyến Am, BN, CP cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G. Do đó, để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 3 (SGK -tr105)

LT2:

Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác PQR.

I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR.

Các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên P, G, I thẳng hàng.

HĐ3:

Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:

Nhận xét:

Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ 4 (SGK -tr106)

Chú ý:

Trong tam giác , với là đường trung 

tuyến và là trọng tâm ta có:

 .

Ví dụ 5 (SGK -tr106)

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho ∆ABC, đường trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho DK= AD. Qua B vẽ một đường thẳng song song với CK, cắt AC tại M. Gọi G là giao điểm của BM và AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. DG = AD

B. MA < MC;

C. ∆BDG = ∆CDK;

D. BG > CK.

Câu 2: Cho hình vẽ sau:

Biết AM = 3 cm. Độ dài đoạn thẳng GM là:

A. 1 cm;

B. 2 cm;

C. 3 cm;

D. 4,5 cm.

Câu 3: Xét các khẳng định sau, tìm khẳng định đúng. Trong một tam giác giao điểm của ba trung tuyến gọi là

A. Trực tâm tam giác;

B. Trọng tâm của tam giác;

C. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác;

D. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Câu 4: Cho ∆ABC vuông tại A. Trung tuyến AK và BH cắt nhau tại M. Trên tia đối của tia KA lấy D sao cho KD = KA. DH cắt BC tại N. Kết luận nào dưới đây sai?

A. CD // AB;

B. DC ⊥ AC;

C. BH = DH;

D. ∆HMN cân tại M.

Câu 5: Cho ∆ABC có ba đường trung tuyến AX, BY, CZ cắt nhau tại G. Biết GA = GB = GC. Hãy so sánh GX, GY và GZ.

A. GX > GY > GZ;

B. GX = GY = GZ;

C. GX < GY = GZ;

D. GX = GY > GZ.

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Trên đoạn MC lấy điểm N sao cho ; AN và CD cắt nhau tại E. Chứng minh E là trung điểm của CD.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN

b) Tam giác GBC là tam giác cân.

c) AG vuông góc với BC.