CHƯƠNG 9: XÁC SUẤT

BÀI 2: BIẾN CỐ HỢP VÀ QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT

1. NHẬN BIẾT

Câu 1: 

Trường THPT A có 270 học sinh khối 10; 300 học sinh khối 11 và 280 học sinh khối 12. Nhà trường chọn 1 học sinh bất kì. Tính xác suất để học sinh đó không phải là học sinh khối 12.

Giải

+ Trường THPT A có tất cả: 270+ 300+ 280= 850 học sinh.

+ Gọi A là biến cố chọn được 1 học sinh khối 10.

B là biến cố chọn được 1 học sinh khối 11.

⇒ A∪B là học sinh được chọn không phải là khối 12.

Ta có: P(A)= 270/(850 )= 27/85 và P(B)= 300/850= 30/85

Do hai biến cố A và B xung khắc nên ta có:

P(A∪B)= P(A) + P(B)= 27/85+ 30/85= 57/85

Câu 2: 

Bạn Mạnh có 10 bông hoa hồng; 8 bông hoa lan và 9 bông hoa ly. Bạn Mạnh định chọn 7 bông hoa để đi tặng bạn. Tính xác suất để 7 bông hoa đó cùng loại.

Giải

+ Gọi A là biến cố bạn Mạnh chọn 7 bông hoa hồng.

+ Gọi B là biến cố bạn Mạnh chọn 7 bông hoa lan.

+ Gọi C là biến cố bạn Mạnh chọn 7 bông hoa ly.

⇒ A∪B∪C: bạn Mạnh chọn 7 bông hoa cùng loại.

Các biến cô A; B; C đôi một xung khắc.

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

n= C277

+ Ta có: PA=C107C277, PB=C87C277 và PC=C97C277

⇒PA∪B∪C=PA+PB+PC

= C107+C87+C87C277=82444015

Câu 3: 

Rút ra một lá bài từ bộ bài 52 lá. Xác suất để được lá cơ hoặc lá rô là

Giải

+ Gọi A là biến cố rút được lá cơ.

Và B là biến cố rút được lá rô.

Khi đó; A∪B: là biến cố rút được lá cơ hoặc lá rô.

+ Bộ bài có 52 lá; trong đó có 13 lá cơ và 13 lá rô.

⇒ Xác suất của hai biến cố A và B là:

P(A) = 13/52 = 1/4;P(B) = 13/52 = 1/4

+ Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên ta có:

P(A∪B)=P(A)+P(B) = 1/4+ 1/4 = 1/2

Câu 4: Gieo một con súc sắc đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm?

Giải: 

Gọi A là biến cố con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm.

B là biến cố con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm.

⇒ A∪B: Con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm hoặc 6 chấm.

Ta có: P(A)= 1/6;P(B)= 1/6

⇒ P (A∪B)=P(A)+P(B)= 1/6 + 1/6 = 1/3

Câu 5: 

Bộ bài lơ khơ có 52 lá bài. Rút ngẫu nhiên một lá bài.Tính xác suất để lá rút ra là lá át hoặc lá 8?

Giải

+ Gọi A là biến cố lá rút ra là át.

Gọi B là biến cố lá rút ra là 8.

⇒ A∪B là biến cố lá rút ra là át hoặc 8.

+ Một bộ bài có 52 lá; trong đó có 4 lá át; 4 lá 8.

Xác suất của hai biến cố A và B là:

P(A) = 4/52 = 1/13;P(B) = 4/52 = 1/13

+ Vì hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên ta có:

P(A∪B)=P(A)+P(B) = 1/13 + 1/13 = 2/13

2. THÔNG HIỂU

Câu 1: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 6 ”

Giải: 

+ Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)= 105

Gọi A: “lấy được vé không có chữ số 2”

Gọi B: “lấy được vé số không có chữ số 6”

Suy ra n(A)=n(B)= 95

P(A)=P(B)=95/105=()0,9)5

+ Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 6 là: 85, suy ra n(A∩B)= 85

⇒ P(A∩B)= 85/105 = 0,85

+ Ta có: X= A∪B nên P(X)=P(A)+P(B)-P(A∩B)= 0,8533

Câu 2: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn

Giải 

Gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm ( i=1;2;3;4;5;6)

Ta có: P(A1)=P(A2)= P(A3)= P(A5)= P(A6)= 1/3 P(A4)= x

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A= A2∪A4∪A6

Vì cá biến cố Ai xung khắc nên:

P(A)= P(A2)+ P(A4)+ P(A6)= 1/8+ 3/8+ 1/8 = 5/8

Câu 3: 

Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên hai viên biên. Xác suất để chọn được hai viên bi cùng màu là

Giải

Gọi A là biến cố : “Chọn được hai viên bi xanh”.

Gọi B là biến cố : “Chọn được hai viên bi đỏ”.

Gọi C là biến cố : “Chọn được hai viên bi vàng”.

Khi đó biến cố: “Chọn được hai viên bi cùng màu” là biến cố A∪B∪C. Do A; B; C đôi một xung khắc với nhau nên theo quy tắc cộng ta có

PA∪B∪C=PA+PB+PC

Ta cóPA=C42C92=636;PB=C32C92=336; PC=C22C92=136

Vậy PA∪B∪C=636+336+136=518

3. VẬN DỤNG

Câu 1: Một chiếc hộp có 8 thẻ đánh số từ 1 đến 8.Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn ?

Giải

Kết qủa nhận được là số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ có ít nhất một thẻ chẵn.

+ Gọi A là biến cố “ rút được 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ”

+ Gọi B là biến cố “ rút được 2 thẻ chẵn”.

⇒ A∪ B: Tích hai số ghi trên hai thẻ là 1 số chẵn.

Ta có 4 thẻ chẵn và 4 thẻ lẻ nên:

Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=4/7+ 3/14= 11/14

Câu 2:

Một tổ học sinh gồm có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất 3 em được chọn có ít nhất 1 nữ?

Giải

+ Gọi A là biến cố chọn ra 1 nữ và 2 nam.

Gọi B là biến cố chọn ra 2 nữ và 1 nam

Gọi C là biến cố chọn 3 nữ, 0 nam

⇒A∪B∪C: chọn được 3 em có ít nhất có 1 nữ.

+ Số phần tử cuả không gian mẫu là:

+ ta có:

⇒ P(A) = 60/120= 1/2; P(B)= 36/120= 3/10 và P(C)= 4/120= 1/30

Do các biến cố A; B và C đôi một xung khắc nên áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 1/2+ 3/10+ 1/30= 5/6

Câu 3: 

Trong một hộp đựng 6 bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để 3 bi lấy ra cùng màu

Giải

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố lấy ra 3 viên bi cùng màu xanh.

Gọi B là biến cố lấy ra 3 viên bi cùng màu đỏ.

Gọi C là biến cố lấy ra 3 viên bi cùng màu vàng.

⇒ A∪B∪C: Lấy ra 3 viên bi cùng màu.

+ Số kết quả thuận lợi cho A; B; C lần lượt là:

Xác suất của 3 biến cố A; B; C là:

Xác suất cần tìm là:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 4/91+ 2/91+ 4/455= 34/455

Câu 4: 

Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.

Giải

Ta có xác suất để học sinh trả lời câu đúng là 1/4 và xác suất trả lời câu sai là 3/4.

Gọi x là số câu trả lời đúng, khi đó số câu trả lời sai là 10- x

Số điểm học sinh này đạt được là : 4x – 2( 10- x) = 6x- 20

Nên học sinh này nhận điểm dưới 1 khi 6x- 20 <1 ⇔ x<21/6

Mà x nguyên nên x nhận các giá trị: 0,1,2,3

Gọi Ai ( i= 0,1,2,3) là biến cố: “Học sinh trả lời đúng i câu”

A là biến cố: “ Học sinh nhận điểm dưới 1”

Suy ra

A=A1A2A3A4 và P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) + P(A3)

mà:PA1=C10i.14i.3410-i

nên PA= i=03C10i.14i.3410-i=0,7759

Câu 5: 

Trong một hộp đựng 7 bi xanh, 5 bi đỏ và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, tính xác suất để được ít nhất 2 bi vàng được lấy ra.

Giải

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố lấy được 2 bi vàng; 1 bi đỏ

Gọi B là biến cố lấy được 2 bi vàng; 1 bi xanh.

Gọi C là biến cố lấy được 3 bi vàng

⇒ A∪B∪C trong 3 bi lấy ra có ít nhất 2 bi vàng.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A; B và C lần lượt là:

Do ba biến cố A; B và C đôi một xung khắc nên theoquy tắc cộng xác suất ta có:

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) = 15/455 + 21/455 + 1/455 = 37/455

Câu 6: 

Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Hùng Vương có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 do huyện tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ

Giải

+ Số phần tử của không gian mẫu là:

+ Gọi A là biến cố chọn được 4 nữ và 1 nam.

Gọi B là biến cố chọn được 3 nữ và 2 nam.

=> A∪B là biến cố có cả nam và nữ ; số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho hai biến cố A và B :

=> Xác suất của hai biến cố A và B là:

P(A)= 60/252;P(B)=120/252

Hai biến cố A và B xung khắc với nhau; áp dụng quy tắc cộng xác suất ta có:

P(A∪B) = P(A)+P(B) = 60/252 + 120/252 = 5/7

4. VẬN DỤNG CAO

Câu 1: Trong bộ môn Toán, thầy giáo có 40 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 15 câu trung bình, 20 câu hỏi dễ. Một ngân hàng đề thi mỗi đề thi có 7 câu hỏi được chọn từ 40 câu hỏi đó. Tính xác suất để chọn được đề thi từ ngân hàng đề nói trên nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 4.

Giải

+ Gọi X là biến cố đề thi có 7 câu hỏi được chọn đủ 3 loại và số câu dễ không ít hơn 4.

+ Số phần tử của không gian mẫu:

Do đủ 3 loại mà số câu dễ không ít hơn 4 nên số câu dễ chỉ có thể là 4 hoặc 5.

+ Gọi A là biến cố đề thi có 5 câu dễ; 1 câu trung bình; 1 câu khó.

Gọi B là biến cố đề thi có 4 câu dễ; 2 câu trung bình và 1 câu khó.

Gọi C là biến cố đề thi có 4 câu dễ; 1 câu trung bình và 2 câu khó.

⇒ X= A∪B∪C và các biến cố A; B; C đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố:

Câu 2: Đội dự tuyển học sinh giỏi Giải toán trên máy tính cầm tay môn toán của một trường phổ thông có 4 học sinh nam khối 12, 2 học sinh nữ khối 12 và 2 học sinh nam khối 11. Để thành lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính cầm tay môn toán cấp tỉnh nhà trường cần chọn 5 em từ 8 em học sinh trên. Tính xác suất để trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và học sinh12.

Giải

Gọi X là biến cố trong 5 em được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ, có cả học sinh khối 11 và 12.

+ Số phần tử không gian mẫu:

+ Gọi A là biến cố chọn được 2 nam 11; 1 nữ 12 và 2 nam 12.

+ Gọi B là biến cố chọn được 2 nam 11; 2 nữ 12 và 1 nam 12.

+ Gọi C là biến cố chọn được 1 nam 11; 1 nữ 12; 3 nam 12.

+ Gọi D là biến cố chọn được 1 nam 11; 2 nữ 12; 2 nam 12.

⇒ X= A∪B∪C∪D và các biến cố A; B; C, D đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố là

Câu 3: 

Trường trung học phổ thông T có tổ Toán gồm 15 giáo viên trong đó có 8 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ. Tổ Lý gồm 12 giáo viên trong đó có 5 giáo viên nam, 7 giáo viên nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 2 giáo viên đi dự tập huấn chuyên đề dạy học tích hợp. Tính xác suất sao cho trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ.

Giải

+ Gọi X là biến cố trong các giáo viên được chọn có 2 nam và 2 nữ.

Số phần tử của không gian mẫu:

+ Gọi A là biến cố chọn được 2 nam toán; 2 nữ lý.

B là biến cố chọn được 2 nữ toán và 2 nam lý.

C là biến cố 1 nam toán; 1 nam lý; 1 nữ toán; 1 nữ lý

=> X=A∪B∪C và các biến cố A; B; C đôi một xung khắc.

+ Ta tính số kết quả thuận lợi cho các biến cố: