Bài tập file word toán 8 cánh diều Chương 5 bài 3: Hình thang cân

BÀI 3: HÌNH THANG CÂN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình thang cân và . Tính ?

Giải: 

Theo định nghĩa hình thang cân ta có  

Câu 2: Cho hình thang cân (như hình vẽ) có . Số đo của

Giải: 

Áp dụng tính chất của hình thang cân ta có:

Mà

Câu 3: Cho hình thang cân và . Tính 

Giải:

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên .

Lại có là hai góc trong cùng phía nên

Câu 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 3cm, đường AH = 5cm, và . Độ dài đáy lớn CD bằng

Giải:

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  

Do đó

Mà

Suy ra

Vậy

Câu 5: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 12cm, đáy lớn CD = 22cm, cạnh bên BC = 13cm thì đường cao AH bằng bao nhiêu?

Giải:

Ta có:  

Do ABCD là hình thang cân nên

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

Vậy

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình thang . AC cắt BD tại O. Biết . Chứng minh rằng là hình thang cân.

Giải: 

Vì nên tam giác OAB cân tại O

Ta có  

tam giác OCD cân tại O  

Suy ra  

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Câu 2: Tứ giác ABCD có . Chứng minh ABCD là hình thang cân.

Giải: 

Từ B kẻ . Vì AB < CD nên điểm E nằm giữa C và D.

Chứng minh

Có cân tại B

Mà ( đồng vị) 

mà tứ giác ABCD là hình thang

Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân.

Câu 3: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Biết  . Tính các góc của hình thang.

Giải: 

Vì AB // CD ta có (hai góc trong cùng phía)

Mà

Mà ABCD là hình thang cân nên ta có

Câu 4: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Giải:

Ta có:

(gt)

(tính chất hình thang cân)

do đó  cân tại

⇒  (tính chất tam giác cân)

Mặt khác (gt)

(hai góc so le trong)

Suy ra  .

Vậy là tia phân giác của

Câu 5: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng .

Giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và 

Vì  (tính chất hình thang cân)

⇒ 

Có  (hai góc trong cùng phía)

⇒ ˆ

Vì  (tính chất hình thang cân)

⇒ 

Câu 6: Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DC = CK.

Giải:

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC

Suy ra: (ch_gn)

Câu 7: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

Giải:

Xét và , ta có:

Do đó

Trong ta có  cân tại O

(tính chất hình thang cân)

Từ (1) và (2) suy ra.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tứ giác BMNC là hình gì?

Giải:

Ta có và

Mà (do tam giác ABC cân tại A) 

và (gt)

Suy ra

Xét tam giác AMN cân tại A.

Suy ra

Xét tam giác ANM có  

(tổng ba góc trong một tam giác)

  (vì ) 

Xét tam giác ABC cân tại A ta có  (tổng ba góc trong một tam giác) nên  (vì )   

Từ và suy ra

Mà là hai góc đồng vị nên MN // BC

Xét tứ giác MNCB có MN // BC nên MNCB là hình thang.

Lại có  (do ΔABC cân tại A) nên MNCB là hình thang cân.

Câu 2: Cho hình thang ABCD cân có AB // CD và AB < CD. Kẻ các đường cao AE, BF.

1. a) Chứng minh rằng: DE = CF.
2. b) Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo hình thang ABCD. Chứng minh: IA = IB.

Giải:

1. a) (cạnh huyền – góc nhọn)

(2 cạnh tương ứng)

1. b) 

(2 góc tương ứng)

cân tại I . 

Có  

Câu 3: Cho hình thang cân có (cm). Kẻ các đường cao AK và BH. 

1. a) Chứng minh rằng
2. b) Tính độ dài BH 

Giải: 

1. a) và có cạnh huyền (cạnh bên hình thang cân), góc nhọn (góc đáy hình thang cân).

Do đó (cạnh huyền, góc nhon), suy ra .

1. b) Ta có: cm nên

Do nên (cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào vuông tại H ta có:

Vậy cm.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). AD cắt BC tại O.

1. a) Chứng minh rằng OAB cân
2. b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, O thẳng hàng
3. c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N. Chứng minh rằng MNAB, MNDC là các hình thang cân.

Giải:

1. a) Vì ABCD là hình thang cân nên suy ra OCD là tam giác cân.

Ta có  (hai góc đồng vị)

Tam giác OAB cân tại O.

1. b) OI là trung tuyến của tam giác cân OAB 

nên OI cũng là đường cao tam giác OAB

mà nên  

Tam giác OCD cân tại O có nên OI cắt CD tại trung điểm J của CD.

Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng.

1. c) Xét ACD và BDC có:

(2 đường chéo của hình thang cân)

(2 cạnh bên của hình thang cân)

Do đó  

Suy ra  hay  

Hình thang MNDC có nên MNDC là hình thang cân.

Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang cân.

Câu 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD.

Giải:

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

+ AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

+ AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

+ CD là cạnh chung

Suy ra ΔACD = ΔBDC (c.c.c)

Suy ra  (cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác KCD cân ở K.

Do đó KC = KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD (*).

Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:

+ AD = BC (cmt)

+ AB là cạnh chung

+ AC = BD

Suy ra ΔADB = ΔBCA (c.c.c)

Suy ra  

Xét tam giác IAB có  nên tam giác IAB cân tại I.

Do đó IA = IB (3)

Ta có KA = KD – AD; KB = KC – BC

Mà KD = KC, AD = BC, do đó KA = KB (4)

Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB. (**)

Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy (đpcm).