Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 5: Định lí Pythagore. Tứ giác (P1)

ÔN TẬP CHƯƠNG 5. TAM GIÁC, TỨ GIÁC (PHẦN 1)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH ?

Trả lời:

Ta có: BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ AB² = BC² - AC² = 25² - 20² = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có:

HB² + HA² = AB² ⇒ AH² = AB² - HB² = 15² - 9² = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Bài 2: Cho hình vẽ. Tính x

Trả lời:

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

⇒ x² + 12² = 13² ⇒ x² = 13² - 12² = 25

Khi đó: x = 5cm

Bài 3: Tam giác có độ dài ba cạnh bằng 4cm, 7cm, 8cm có là tam giác vuông không? Vì sao?

Trả lời:

Ta có 4² =16, 7² = 49, 8² = 64

Mà 16 + 49 = 65 ≠ 64

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 4m, 7m, 8m không là tam giác vuông.

Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 3cm, đường AH = 5cm, và góc . Độ dài đáy lớn CD bằng

 Trả lời:

Ta có tam giác ADH vuông cân tại H vì  

Do đó

Mà

Suy ra

Vậy

Bài 5: Trong các tứ giác ở hình sau, tứ giác nào là hình bình hành? Vì sao?

Trả lời:

• ABCD là hình bình hình vì có các cạnh đối bằng nhau
• EFGH là hình bình hành vì có các góc đối bằng nhau
• PQRS là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
• XYUV là hình bình hành vì có XV = YU và XV // YU

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BE = DF.

Trả lời:

Ta có:

Mà AD = BF (ABCD là hình bình hành)  

 => DE = BF

Tứ giác BEDF có:

DE // BF (vì AD // BC)

DE = BF

Nên BEDF là hình bình hành suy ra BE = DF

Bài 7: Tìm giá trị của x từ các thông tin trên hình sau

Trả lời:

Kẻ BH ⊥ CD, tứ giác ABHD có

⇒ Tứ giác ABHD là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất của hình chữ nhật ta có

Ta có: CD = DH + HC ⇒ HC = CD - DH = 15 - 10 = 5 (cm)

Xét Δ BCH, áp dụng định lý Py – to – go ta có:

Bài 8: Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G.

1. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
2. b) Nếu DABC cân ở A thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

1. a) Ta có

GM = GP (vì P là điểm đối xứng của M qua G ) (1)

GN = GQ (vì Q là điểm đối xứng của N qua G ) (2)

Từ (1), (2)  suy ra MNPQ là hình bình hành (vì có G là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ )

1. b) Nếu DABC cân tại A thì AB =AC, khi đó ta có DAMB = D ANC (g.c) 

Þ  MB = NC vì thế ta lại có MP = NQ .

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 9:  Cho tam giác  nhọn, cân tại  Kẻ  vuông góc với  tại  Tính độ dài cạnh  biết  

 Trả lời:

Dùng định lý Py-ta-go ta có

Từ đó   

Bài 10: Cho hình vẽ. Tính

Trả lời:

Xét tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Vậy

Bài 11: Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là bao nhiêu?

Giải: 

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16cm. Khi đó 4.AB = 16cm

⇒ AB = 4cm = AB = CD = DA

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là 32.

Bài 12: Một hình vuông có độ dài cạnh bằng 4cm thì độ dài đường chéo của hình vuông là?

Trả lời:

Giả sử hình vuông có độ dài cạnh là a (cm)

Áp dụng định lý Py – to – go thì độ dài đường chéo của hình vuông là cm.

Do đó với a = 4 thì độ dài đường chéo là  (cm)

Bài 13: Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi

 Trả lời:

Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên  và  (1).

Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên  và  (1).

Từ (1) và (2) suy ra   và . Do đó   là hình bình hành.

Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung bình, ta có .

Theo giả thiết,  nên  

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi.

Bài 14: Cho  nhọn (AB > AC) có đường cao , E là điểm tùy ý trên

Chứng minh:  

 Trả lời:

Áp dụng định lý Pythagore cho  ;  ; và  vuông tại H có:

 ;  ;  ;  

Vậy  

Vậy  

Bài 15: Tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh.

Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào?

 ,  ,  với  là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1.

Trả lời:

 ,  ,  .

 là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là  nên

Có: .Thay . Ta được: ;

Vậy  nên vuông tại  (Định lý Pythagore đảo) .

Bài 16: Cho tam giác ABC, các đường cao AK và BD cắt nhau tại G. Vẽ các đường trung trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh rằng:

1. a)
2. b)
3. c)

 Trả lời:

1. a) Ta có và

nên tứ giác AIBG là hình bình hành

suy ra  ; .

1. b) , mà

do đó  

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong  , HE là đường trung bình, do đó  .

 Vậy  

1. c) Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong

Suy ra  (Vì   là hình bình hành).

Vậy  

Bài 17: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

 Trả lời:

Ta có  là đường trung bình của  

Ta có  là đường trung bình của   

Từ (1) và (2) suy ra   

Vậy EFGH là hình bình hành  (3)

Ta có  là đường trung bình của   

Ta có

Ta có

Từ (3) , (4) suy ra hình bình hành EFGH có góc nên EFGH là hình chữ nhật.

Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi

Trả lời:

Ta có (cạnh huyền, góc nhọn)

 và  .

Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

Từ đó  và  

Xét DEBC có  (cùng vuông góc với AC)

và  nên  

Chứng minh tương tự ta được 

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và  nên tứ giác   là hình bình hành.

Mặt khác,  (cùng bằng  của hai cạnh bằng nhau) nên  là hình thoi.

Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D, cắt BC tại G. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC. Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi

Trả lời:

Ta có (cạnh huyền, góc nhọn)

 và  .

Vì H là trực tâm của DABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến

Từ đó  và  

Xét DEBC có  (cùng vuông góc với AC)

và  nên  

Chứng minh tương tự ta được 

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và  nên tứ giác   là hình bình hành.

Mặt khác,  (cùng bằng  của hai cạnh bằng nhau) nên  là hình thoi.

Bài 20: Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để  nhỏ nhất.

 Trả lời:

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức:

 .

Từ đó suy ra  

 khi M trùng với I.

Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì nhỏ nhất.