Bài tập file word Toán 8 cánh diều Ôn tập Chương 5: Định lí Pythagore. Tứ giác (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 5. TAM GIÁC, TỨ GIÁC (PHẦN 2)

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Biết HA = 7cm, HC = 18cm. Tính các độ dài BH và BC.

Trả lời:

Tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC = HA + HC = 7 + 18 = 25cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có: BH = 24cm

Áp dụng Py-ta-go vào tam giác vuông BHC được BC = 30cm.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc BC (H nằm giữa B và C). Biết BH = 9cm, HC = 16cm, HA = 12cm. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Trả lời:

+) Áp dụng Py-ta-go cho hai tam giác vuông ABH và ACH được:

 AB = 15; AC = 20

+) BC = 25

BC² = AB² + AC²  (25² = 15² + 20²).

Theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.

Bài 3: Cho các độ dài 6cm, 7cm, 8cm, 10cm, 24cm, 26cm. Ba độ dài nào có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Trả lời:

Ba độ dài độ dài các cạnh của tam giác vuông là (6; 8; 10), (10; 24; 26).

Bài 4: Cho hình vẽ. Tính

Trả lời:

Xét tam giác ABC vuông tại B. Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Vậy

Bài 5: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau.

1. a) 9cm, 15cm, 12cm.
2. b) 5dm, 13dm, 12dm.
3. c) 7m, 7m, 10m.

Trả lời:

1. a) Ta có

Mà

Nên theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 9cm ,12cm ,15cm là tam giác vuông.

1. b) Ta có

Mà

Nên theo định lí Py – ta – go đảo tam giác có độ dài 3 cạnh 5dm, 13dm,12dm là tam giác vuông.

1. c) Ta có

Mà

Nên tam giác có độ dài 3 cạnh 7m, 7m, 10m không là tam giác vuông.

Bài 6: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB = 12cm, đáy lớn CD = 22cm, cạnh bên BC = 13cm thì đường cao AH bằng bao nhiêu?

 Trả lời:

Ta có:  

Do ABCD là hình thang cân nên

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ADH vuông tại H ta có

Vậy

Bài 7: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

Tứ giác EFGH là hình bình hành.

EB = EA, FB = FC (gt) nên EF là đường trung bình của ΔABC

Do đó EF // AC.

Tương tự HG là đường trung bình của ΔACD do đó HG // AC

Suy ra EF // HG (1)

Tương tự: EH // FG (2)

Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết 1).

Bài 8: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 4 cm, tổng hai đường chéo bằng    10 cm.

Trả lời:

Gọi độ dài hai đường chéo là  và , ta có  và  

Suy ra

Diện tích hình thoi bằng :

Bài 9: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy AB và CD.

 Trả lời:

Xét tam giác ACD và tam giác BDC có:

+ AD = BC (do ABCD là hình thang cân)

+ AC = BD (do ABCD là hình thang cân)

+ CD là cạnh chung

Suy ra ΔACD = ΔBDC (c.c.c)

Suy ra  (cmt), suy ra tam giác ICD cân tại I. Do đó ID = IC (1)

Tam giác KCD có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác KCD cân ở K.

Do đó KC = KD (2)

Từ (1) và (2) suy ra KI là đường trung trực của CD (*).

Xét tam giác ADB và tam giác BCA có:

+ AD = BC (cmt)

+ AB là cạnh chung

+ AC = BD

Suy ra ΔADB = ΔBCA (c.c.c)

Suy ra  

Xét tam giác IAB có  nên tam giác IAB cân tại I.

Do đó IA = IB (3)

Ta có KA = KD – AD; KB = KC – BC

Mà KD = KC, AD = BC, do đó KA = KB (4)

Từ (3) và (4) suy ra KI là đường trung trực của AB. (**)

Từ (*) và (**) suy ra KI là đường trung trực của hai đáy (đpcm).

Bài 10: Cho hình thang cân  có  (cm). Kẻ các đường cao AK và BH.

1. a) Chứng minh rằng
2. b)Tính độ dài BH

Trả lời:

1. a) và có cạnh huyền  (cạnh bên hình thang cân), góc nhọn  (góc đáy hình thang cân).

Do đó  (cạnh huyền, góc nhon), suy ra .

1. b) Ta có: cm nên

Do  nên  (cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào  vuông tại H ta có:

Vậy  cm.

Bài 11:  Cho hình vuông ABCD có cm. Tính diện tích hình vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Suy ra

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

Do đó, diện tích hình vuông đã cho là

Bài 12: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB; BC; CD và DA. Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì? Biết MN = NP.

Trả lời:

Xét tam giác ABC có M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Xét tam giác ACD có P và Q lần lượt là trung điểm của CD và AD nên PQ là đường trung bình của tam giác

Suy ra  

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Ta có

Vì

Hình bình hành MNPQ có 1 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Do MN = NP nên hình chữ nhật MNPQ là hình vuông.

Bài 13: Tứ giác ABCD có  . Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Biết ,. Tính diện tích tứ giác

 Trả lời: 

EF là đường trung bình của tam giác ABC

nên  

Tương tự: ;  

Do  nên  

suy ra EFGH là hình thoi

Bài 14: Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 4 cm, tổng hai đường chéo bằng    10 cm.

Trả lời:

Gọi độ dài hai đường chéo là  và , ta có  và  

Suy ra  

Diện tích hình thoi bằng

Bài 15: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm hai đường chéo, biết AC = 16cm và OB = 6cm. Tính CD?

Trả lời:

Do ABCD là hình thoi nên

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABO ta có:

 nên

Vì ABCD là hình thoi nên

Bài 16: Cho  vuông cân ở A;  M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Vẽ đường cao AH của ABC. Chứng minh:

1. a)  
2. b)

Trả lời:

1. a) vuông cân nên .

Chỉ ra ,

 vuông cân tại  nên  

 vuông cân tại  nên  

1. b) Có ;

 Vì   nên  

(Áp dụng ĐL Pythagore cho  vuông tại H ).

Vậy  

Bài 17: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là Theo định lí Py – ta – go ta có:

Theo bài ra ta có:

Khi đó ta có:

Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là 10 cm và 24 cm.

Bài 18: Cho hình thang cân  . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác   là hình thoi.

Trả lời:

Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên ta có  và  (1).

Tương tự trong tam giác ACD

 và  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  và  

Do vậy   là hình bình hành (3).

Lại xét tam giác ABD, MQ là đường trung bình, suy ra   

Vì  ABCD là hình thang  cân nên  , từ đó suy ra  (2).

Từ (1) và (2) suy ra  là thoi.

Bài 19: Cho tứ giác ABCD có . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD. Chứng minh rằng tứ giác là hình thoi

 Trả lời:

Trong tam giác ABD, MQ là đường trung bình nên  và  (1).

Trong tam giác ACD, NP là đường trung bình nên  và  (1).

Từ (1) và (2) suy ra   và . Do đó   là hình bình hành.

Lại có: trong tam giác ABC, MN là đường trung bình, ta có .

Theo giả thiết,  nên  

Tứ giác MNPQ là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau nên MNPQ là hình thoi.

Bài 20: Tìm các hình vuông trên hình sau. Giải thích lý do.

Trả lời:

• ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ABCD là hình bình hành

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Hình chữ nhật ABCD có AB = BC ⇒ ABCD là hình vuông

• MNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo bằng nhau ⇒ MNPQ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật MNPQ có MP ⊥ NQ tại O ⇒ MNPQ là hình vuông

• RSTU có 4 cạnh bằng nhau ⇒RSTU là hình thoi

          Hình thoi RSTU có một góc vuông ⇒ RSTU là hình vuông