BÀI 17: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Vẽ đường thẳng qua B song song với AD và cắt đường thẳng AC tại E (Hình 1). Hãy giải thích tại sao:

1. a) tam giác BAE cân tại A
2. b) 

Giải:

1. a) Ta có: BE // AD suy ra  (hai góc đồng vị),  (hai góc so le trong)

AD là tia phân giác góc  nên BADˆ=CADˆ

Do đó:  

suy ra tam giác BAE cân tại A

1. b) Xét tam giác BCE có AD // BE, theo định lí Thales ta có:

Mà AE = AB (do tam giác ABE cân tại A)

Do đó: 

Câu 2: Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6

Giải:

Trong tam giác MPQ , ta có MN là đường phân giác góc M, suy ra 

 nên 

Suy ra 

Câu 3: Tính độ dài x trong Hình 7

Giải:

1. a) Trong tam giác ABC , ta có AD là đường phân giác góc A, suy ra  nên 

Suy ra 

1. b) Trong tam giác EFG , ta có EH là đường phân giác góc E, suy ra nên 

Suy ra 12x=18(20−x) ⇒

1. c) Trong tam giác PQR , ta có RS là đường phân giác góc R, suy ra  nên 

Suy ra 

Câu 4: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB và DC
2. b) Tính tỉ số diện tích giữa ΔADB và ΔADC

Giải:

1. a) Tam giác ABC có AD là đường phân giác

⇒

⇒

Nên 

cm, cm

1. b) Vẽ AH⊥BC tại H

Câu 5. Cho tam giác ABC có AB cm BC = 5,7 cm và CA = 6cm . Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC ở E . Tính các đoạn EB, EC 

Giải:

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 

 Hay

(cm); (cm)

Câu 6. Cho tam giác ABC có BC cm AC AB = = 24 , 3 . Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC ở E . Tính độ dài EB .

Giải:

Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC , ta được: 

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: 

Vậy EB =12 cm

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1. Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E∈AC)

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE
2. b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC
3. c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE

Giải:

1. a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác góc BAC

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên 

Suy ra:  =1515+20 (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: 

Nên:  

Do đó,  (cm)

Xét tam giác ABC có: DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

suy ra , vậy cm

1. b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm, 

nên

suy ra tam giác ABC vuông tại A

(cm2)

1. c) Kẻ AH⊥BC ta có:

Suy ra  (cm2)

Suy ra  (cm2)

(cm2)

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

1. a) Tính BC, DB, DC
2. b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD
   
   

Giải:

1. a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

 suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên  suy ra 

⇒

⇒ (cm), 

do đó  (cm)

1. b) Ta có: 

⇒ (cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên:

Ta có:  (cm)

Tam giác ADH vuông tại H nên:

(cm)

Câu 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC 

Giải:

Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác góc AMB suy ra 

Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác góc AMC suy ra 

Mà MB = MC, do đó: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Câu 4: Cho tam giác ABC có AB =4 cm AC = 5 cm BC = 6cm, các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I. 

1. a) Tính các độ dài AD DC .
2. b) Tính các độ dài AE, BE .

Giải:

1. a) Theo tính chất đường phân giác:

Do đó, AD = 2cm, CD = 3cm 

1. b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác: 

⇒

 Do đó AE = cm BE = cm 

Câu 5: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: CE = 2HI

Giải:

Ta có:

Suy ra ∆AIE cân tại A ⇒ AI = AE  (1).

 Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có: 

(2);  (3) 

Từ (2) và (3) suy ra: (4)

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2. BH

Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC = 2. IH

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Đường phân giác AD của tam giác ABC chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn tỉ lệ với hai đoạn thẳng nào trong hình?

Giải: 

Có: ; 

Mà

Câu 2: Hình vẽ sau đây minh hoạ một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức . Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức đó?

Giải:

Vì theo hình, AC là tia phân giác của góc NAM (tính chất đường phân giác trong)

Câu 3. Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh

Giải:

AD là đường phân giác

BE là đường phân giác

CF là đường phân giác

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: . Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng GM ⊥ AC  . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD . 

Giải:

ΔADH có: GM//DH

Hay MC  = 2AM

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ΔABC, ta có:

Vậy ΔABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao. Do đó BM ⊥AD

Câu 2. Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F sao cho D E nằm cùng phía đối với điểm I . Chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có: 

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra: