BÀI 36: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (3 câu)

Câu 1: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Giải:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là x, y (x, y > 0)

Theo định lí Py – ta – go ta có x2 + y2 = 262 ⇔ x2 + y2 = 676

Theo bài ra ta có

Khi đó ta có

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH?

Giải:

Ta có BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có

BC2 = AB2 + AC2 ⇒ AB2 = BC2 - AC2 = 252 - 202 = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có

HB2 + HA2 = AB2 ⇒ AH2 = AB2 - HB2 = 152 - 92 = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH2 - BH2 = AC2

Giải:

Nối C với M ta được tam giác vuông CMH

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Do đó CH2 - BH2 = (CM2 - MH2) - BH2 = CM2 - (MH2 + BH2) = CM2 - BM2

Mà MA = MB (gt)

Nên CH2 - BH2 = CH2 - MA2 = AC2

Vậy CH2 - BH2 = AC2

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng trong hình sau

Giải:

Ta có  ΔDEF vuông tại D và ΔD'E'F' vuông tại D' có

* Áp dụng định lí Py – ta – go vào ΔA'B'C' vuông tại A' có

Thay số

Suy ra nên

* Áp dụng định lí Py – ta – go vào ΔABC vuông tại A có

Thay số

Suy ra nên

+ Xét ∆A'B'C' vuông tại A’ và ∆ABC vuông tại A có

Câu 2: Tam giác ABC có , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh a2 = b2 + c2 + bc

Giải:

Kẻ tại H

Xét tam giác BHA vuông ta có

Xét tam giác BHC vuông ta có

Hay

Câu 3: Cho tứ giác ABCD, có , , , ,

1. a) Tính góc
2. b) Chứng minh
3. c) Chứng minh .

Giải:

1. a) Ta có , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo)
2. b) Ta có (Pitago)
3. c)

Câu 4: Trên hình dưới đâyhãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Giải:

Xét ∆ABE và ∆ADC có

chung

+ Xét ∆FDE và ∆FBC có

+ Xét ∆ABE và ∆FDE có

chung

Từ (1) và (3) suy ra (4).

Từ (2) và (3) suy ra (5).

Từ (2) và (4) suy ra  (6).

Vậy có tất cả 6 cặp tam giác đồng dạng.

Câu 5: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có diện tích là 54cm2. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Giải:

Xét ΔABC có

⇒ ΔABC vuông tại A (Định lý Py – ta – go đảo)

⇒ Diện tích tam giác ABC là 

Theo giả thiết tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC suy ra 

(với k là tỉ số đồng dạng).

Lại có tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

⇒ A’B’ = 3.AB = 3.3 = 9 (cm)

B’C’ = 3.BC = 3.5 = 15 (cm)

C’A’ = 3.CA = 3.4 = 12 (cm)

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác A’B’C’ lần lượt là 9cm, 12cm, 15cm.

Câu 6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, lấy điểm D bất kì thuộc BC, một đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại E và F.

1. a) Chứng minh DB.DC = DE.DF
2. b) Gọi AH là đường cao của , biết HB = 3cm, HC = 12cm. Tính đường cao AH.

Giải:

1. a) Ta có (cùng phụ với )

Do đó hai tam giác vuông BDF đồng dạng với tam giác EDC (g.g)

1. b) Ta có  (cùng phụ với )

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA (g.g)

Câu 7:  Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC và các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng minh AD.AE = AB.AG = AC.AF

Giải:

1. a) Xét và có  chung và   (giả thiết)

nên tam giác ADB đồng dạng với tam giác AGE (g.g)

Tương tự tam giác ADF đồng dạng với tam giác ACE.

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.

1. a) Tính BC.
2. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh EMB ~ 
3. c) Tính EB và EM.
4. d) Chứng minh BH vuông góc với EC.

Giải:

1. a) (Pitago)
2. b) (góc chung) (g.g)
3. c)
4. d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC,

Câu 2: Cho tam giác ABC, có , đường cao Chứng minh

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) 
2. b)

Câu 3: Cho hình vuông , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho  

1. a) Chứng minh
2. b) Chứng minh .
3. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

Giải:

1. a) Chứng minh

Tam giác EMC có trung tuyến nên là tam giác vuông tại M.

1. b) Chứng minh
2. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD ( AC > BD) vẽ CE vuông góc với AB tại E, vẽ CF vuông góc với AD tại F.Chứng minh rằng  

Giải: 

Vẽ

Xét ABH và ACE có chung 

Suy ra   

(1)

Xét và có (so le trong)

Suy ra (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được

Câu 2: Cho có đường cao AH, biết ;

1. a) Tính độ dài AH và chứng minh
2. b) Chứng minh

Giải:

1. a) Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có

Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có 

Ta lại có

Xét và có     

1. b) Ta có

Xét và có