ÔN TẬP CHƯƠNG X: MỘT SỐ HÌNH KHỐI TRONG THỰC TIỄN (PHẦN 1)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có thể tích là 100 ; chiều cao của hình chóp là 3cm. Tính độ dài cạnh đáy?

Trả lời:

Thể tích của hình chóp đều là

Gọi độ dài cạnh đáy là a.

Do đáy là tam giác đều nên diện tích đáy là

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4cm, độ dài trung đoạn bằng  . Diện tích xung quanh của hình chóp đã cho là?

Trả lời:

Chu vi của đáy ABCD là

Áp dụng công thức diện tích xung quanh của hình chóp

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB = 3 cm, cạnh bên SA = 4cm. Tính chiều cao của hình chóp.

Trả lời:

Hình chóp tam giác đều S.ABC nên ABC  là tam giác đều.

Gọi H là trung điểm AB, O là trong tâm tam giác ABC

Ta có CH là đường cao tam giác ABC

Trong tam giác CHB vuông tại H ta có

;

Trong tam giác vuông   vuông tại O ta có

Vậy chiều cao của hình chóp là

Bài 4: Thể tích khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là bao nhiêu?

Trả lời:

Đáy ABC là tam giác đều có diện tích là

Thể tích khối chóp cần tìm là 

Bài 5: Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 6cm

(làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

Chóp tam giác đều S.ABC có SH ⊥ (ABC) nên H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABD vuông tại D ta có

Diện tích đáy

Vì H là trọng tâm tam giác ABC ⇒ 

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ASH vuông tại H ta được

Vậy thể tích của hình chóp là

Bài 6: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên SA = 13cm và độ dài cạnh đáy là . Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều.

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC có:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông SAO có:

 nên

Diện tích đáy là

Vậy

Bài 7: Tính thể tích hình chóp tam giác đều biết chiều cao bằng  và cạnh bên bằng 4cm.

Trả lời:

 là hình chóp đều nên chân đường cao H trùng với giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác, ta có  và

Trong tam giác SHC vuông tại H, theo định lí pytago ta có

Suy ra  

Tam giác ABC là tam giác đều, giả sử có cạnh là a nên chiều cao tam giác đều là mà CI là chiều cao tam giác ABC nên cạnh tam giác đều là  hay  

Diện tích đáy là

Thể tích hình chóp là

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều  có ,  . Tính độ dài trung đoạn và chiều cao của hình chóp đều này.

Trả lời:

Hình chóp tứ giác đều  có , , nên   là hình vuông  và các cạnh bên bằng nhau.

Ta có ;

Trong tam giác vuông   vuông tại O, theo Pytago ta có

Vậy chiều cao hình chóp là

Gọi H là trung điểm AB, ta có SH là trung đoạn của hình chóp

Trong tam giác   vuông tại H, theo Pytago ta có 

Vậy độ dài trung đoạn là

Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là các tam giác đều. Gọi SH là đường cao của hình chóp, có . Tính độ dài BA.

Trả lời:

Gọi M là giao điểm của CH và AB ta có AM = BM.

Vì H là trọng tâm ΔABC nên: 

Đặt , ta có  (định lý Pytago cho ΔMBC) nên

Vậy

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp?

Trả lời:

Do mặt bên của hình chóp là tam giác đều cạnh 4cm nên đáy là hình vuông cạnh 4cm

Nửa chu vi đáy là

Các mặt bên là tam giác đều cạnh 4cm nên độ dài trung đoạn là

Diện tích xung quanh là

Diện tích đáy

Diện tích toàn phần là 

Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a và cạnh bên tạo với đáy góc . Tính thể tích hình chóp đều S.ABCD.

Trả lời:

Gọi 

Vậy

Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC  với các kích thước như hình vẽ bên .

1. a) Cho biết độ dài trung đoạn của hình chóp S.ABC.
2. b) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC.
3. c) Tính thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC biết chiều cao của hình chóp khoảng 7,5 cm.

Trả lời:

a/ Độ dài trung đoạn của hình chóp S.ABC là SH = 6,93cm.

b/ Diện tích xung quanh của hình chóp S.ABC là

Diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC là

c/ Thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC là

Bài 13: Kim tự tháp Kheops – Ai Cập có dạng hình chóp đều, đáy là hình vuông, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh (hình vẽ). Chiều cao của kim tự tháp là 139 m, cạnh đáy của nó dài 230 m.

1. a) Tính thể tích của kim tự tháp Kheops – Ai Cập (làm tròn đến hàng nghìn).
2. b) Giả sử người ta muốn “làm đẹp” kim tự tháp bằng cách dùng gạch men phẳng để ốp phủ kín toàn bộ bề mặt kim tự tháp trên thì phải dùng tối thiểu bao nhiêu mét vuông gạch men ? Biết độ dài trung đoạn của kim tự tháp là 180m.

Trả lời:

1. a) Thể tích của kim tự tháp Kheops – Ai Cập là:
2. b) Người ta muốn “làm đẹp” kim tự tháp bằng cách dùng gạch men phẳng để ốp phủ kín toàn bộ bề mặt kim tự tháp trên thì phải dùng tối thiểu số mét vuông gạch men là:

Bài 14: Một khối rubik có dạng hình chóp tam giác đều, có chu vi đáy bằng 234 mm, đường cao của mặt bên hình chóp là 67,5 mm.

1. a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối rubik đó.
2. b) Biết chiều cao của khối rubik là 63,7 mm. Tính thể tích của khối rubik đó.

Trả lời:

1. a) Đường cao mặt bên hình chóp chính là trung đoạn d = 67,5 mm.

Diện tích xung quanh của khối rubik đó là:

Đáy là tam giác đều có cạnh là 234 : 3 = 78 cm; Chiều cao của tam giác đáy là 67,5cm.

Diện tích toàn phần của khối rubik đó là:   .

1. b) Thể tích của khối rubik đó là : V =

Bài 15: Tháp đồng hồ có phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có cạnh dài 5m, chiều cao của hình hộp chữ nhật là 12m. Phần trên của tháp có dạng hình chóp tứ giác đều, các mặt bên là các tam giác cân chung đỉnh. Chiều cao của tháp đồng hồ là 19,2m.

1. a) Tính theo mét chiều cao của phần trên của tháp đồng hồ.
2. b) Cho biết thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức V = S . h, trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình hộp chữ nhật. Thể tích của hình chóp được tính theo công thức , trong đó S là diện tích mặt đáy, h là chiều cao của hình chóp. Tính thể tích của tháp đồng hồ này.

Trả lời:

1. a) Chiều cao của phần trên của tháp đồng hồ là: 19,2 – 12 = 7,2 (m).
2. b) Thể tích của phần trên của tháp là :

    Thể tích của  phần dưới của tháp là : .

    Thể tích của tháp đồng hồ đó là :  

Bài 16: Một hình chóp tứ giác đều có thể tích bằng 200, chiều cao bằng 12cm. Tính độ dài cạnh bên.

Trả lời:

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 200, đường cao SH = 12cm.

Ta có 

Tức

Tam giác BHC vuông cân nên  hay  hay  

Vậy SC = 13cm.

Vậy độ dài cạnh bên là 13cm

Bài 17: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều  biết  

Trả lời:

Hình chóp tứ giác đều  có đáy   là hình vuông nên  , ta có

Trong tam giác vuông  , theo pytago ta có

Trong tam giác   vuông tại O, theo Pytago ta có

Diện tích đáy là 

Diện tích xung quanh hình chóp là

Diện tích toàn phần hình chóp

Bài 18: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 2a.

Trả lời:

Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.

Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = AM.

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được

Do đó

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H ta được

Áp dụng

Ta có:

Bài 19: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x. Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích khối chóp.

Trả lời:

Thể tích của hình chóp

Diện tích đáy là

Gọi O là tâm của hình vuông, I là trung điểm của DC thì

Đặt SO = h. Có

Có  mà  

Vậy

Bài 20: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Lấy M, N thuộc cạnh SA, SB sao cho . Mặt phẳng qua  chia hình chóp tam giác đều thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần này.

Trả lời:

Thiết diện là hình thang MNEF là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Đặt