ÔN TẬP CHƯƠNG IV: ĐỊNH LÍ THALES (PHẦN 2)

Bài 1: Tìm x trong Hình 20

Trả lời:

1. a) Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 3

1. b) Xét tam giác CDE có AB // DE, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 7.2

1. c) Xét tam giác MNP có:

 DE⊥MP; MN⊥MP suy ra DE// MN, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 2

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và tia Hy vuông góc với AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điểm D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh:

1. a) A là trung điểm của DE;
2. b)
3. c) PQ = AH.

Trả lời:

1. a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH cân tại A.

Khi đó: và AD = AH = AE.

Từ đó, suy ra được A, D, E thẳng hàng và A là trung điểm DE.

1. b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE ⇒ ĐPCM.
2. c) Có AH = AD = AE = 1 2 DE, mà ⇒ AH = PQ.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8 cm và BC = 10 cm. Lấy điểm B' trên AB sao cho AB' = 2 cm. Qua B' vẽ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại C'.

1. a) Tính AC'
2. b) Qua C' vẽ đường thẳng song song với AB và cắt BC tại D. Tính BD, B'C'
3. c) Tính và so sánh các tỉ số: và

Trả lời:

1. a) Xét tam giác ABC có B'C' // BC, nên theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy AC' = 

1. b) Xét tam giác ABC có C'D // AB, nên theo định lí Thales ta có:

suy.

Vậy 

Xét tứ giác B'C'DB ta có:

B'C'//BD, B'B // C'D

nên B'C'DB là hình bình hành

suy ra B′C′ = BD =

1. c) 

Vậy

Bài 4: Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng 1 cm. Tính độ dài các đoạn PQ, PR, RQ, AB, BC, CA trong Hình 11

Trả lời:

Ta có: 

Xét tam giác ABC có:

 P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AC

suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên 

Tương tự:

Bài 5: Hình vẽ sau đây minh hoạ một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức . Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức đó?

Trả lời:

Vì theo hình, AC là tia phân giác của góc NAM  (tính chất đường phân giác trong)

Bài 6: Tính x trong hình và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

1. a) b)

Trả lời:

Hình a: Ta có .

Theo tính chất đường phân giác trong ta có

.

Hình b: Ta có .

Theo tính chất phân giác trong ta có

.

Bài 7: Cho tam giác ABC có AB =4 cm AC = 5 cm BC = 6cm, các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I.

1. a) Tính các độ dài AD DC .
2. b) Tính các độ dài AE, BE .

Trả lời:

1. a) Theo tính chất đường phân giác:

Do đó, AD = 2cm, CD = 3cm

1. b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:

⇒

 Do đó AE = cm BE =  cm

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm, BM là đường phân giác. Biết rằng GM ⊥ AC  . Chứng minh rằng BM vuông góc với trung tuyến AD .

Trả lời:

ÄADH có: GM//DH

Hay MC  = 2AM

Áp dụng tính chất đường phân giác trong ÄABC, ta có:

Vậy ÄABD cân tại B nên BI vừa là phân giác vừa là đường cao. Do đó BM ⊥AD

Bài 9: Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 4 CM. Trên cạnh  lấy điểm  sao cho . Chứng minh  song song với .

Trả lời:

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

.

Mặt khác .

Suy ra . Vậy .

Bài 10: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Tia phân giác góc AMB cắt AB tại D, tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC tại E. Chứng minh DE // BC.

Trả lời:

Theo tính chất đường phân giác ta có

 và .

Mặt khác  nên .

Theo định lý Ta-lét đảo ta được .

Bài 11: Cho hình thang ABCD với AB // CD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O và đường thẳng qua O song song với đáy cắt các cạnh bên tại AD và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh OM = ON.

Trả lời:

Xét  có  nên theo định lí Ta-lét ta có  .          (1)

Xét  có  nên theo định lí Ta-lét ta có

 .   (2)

Xét  có  nên theo định lí Ta-lét ta có  .    (3)

Từ , ,  suy ra  .

Suy ra .

Bài 12: Người ta xây dựng mô hình như hình dưới để đo bề rộng MN của một cái hồ nước mà không cần phải đo trực tiếp. Em hãy tính xem độ rộng của hồ nước trong hình vẽ là bao nhiêu?

Trả lời:

Xét ÄAMN, Ta có:

      B là trung điểm của AM

      C là trung điểm của AN

⇒ BC là đường trung bình của ÄAMN

Vậy độ rộng của hồ nước là 80 (m)

Bài 13: Một nhóm các bạn học sinh lớp 8 đã thực hành đo chiều cao AB của một bức tường như sau: Dùng một cái cọc CD đặt cố định vuông góc với mặt đất, với CD = 3 m và CA = 5 m. Sau đó, các bạn đã phối hợp để tìm được điểm E trên mặt đất là giao điểm của hai tia BD, AC và đo được CE = 2,5 m (Hình vẽ bên).

Tính chiều cao AB của bức tường.    (Học sinh không cần vẽ lại hình)

Trả lời:

Xét tam giác  EAB có CD//AB (do CD và AB cùng vuông góc với CA).

Theo hệ quả định lí Ta-lét có  (1)

Mà CA = 5m; EC = 2,5m  và CD = 3m

Thay vào (1), ta được . Vậy bức tường cao 9 mét.

Bài 14: Cho tam giác , đường trung tuyến . Gọi  là một điểm trên cạnh  sao cho . Gọi  là giao điểm của  và . Chứng minh rằng

1. a) là trung điểm của . b) .

Trả lời:

1. a) Qua vẽ một đường thẳng song song với cắt  tại .

Xét  có  và  nên

 (định lý đường trung bình của tam giác).

Mặt khác , do đó .

Xét  có  và  nên  hay O là trung điểm của AD.

1. b) Xét có là đường trung bình nên .      (1)

Xét  có  là đường trung bình nên . (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Bài 15: Cho tam giác , đường cao . Đường thẳng  song song với , cắt các cạnh  và đường cao  theo thứ tự tại các điểm .

1. a) Chứng minh .
2. b) Cho và diện tích tam giác là   Tính diện tích tam giác .

Trả lời:

1. a) Ta có .
2. b) Vì nên .

Suy ra

.

Bài 16: Cho ∆ABC vuông cân tại A. Đường cao AH và đường phân giác BE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: CE = 2HI

Trả lời:

Ta có:

Suy ra ∆AIE cân tại A ⇒ AI = AE  (1).

 Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có:

 (2);  (3)

Từ (2) và (3) suy ra: (4)

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2. BH

Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC = 2. IH

Bài 17: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 12 cm, AC = 16 cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D.

1. a) Tính BC, BD và CD.
2. b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD.

Trả lời:

1. a) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có

Theo tính chất đường phân giác trong của góc  ta có

.

Mặt khác ta lại có

 cm.

Do đó  cm.

1. b) Ta có

Mặt khác  cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông  ta có

 cm.

Suy ra  cm.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông  ta có

 cm.

Bài 18: Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh

Trả lời:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m. Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

⇒

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.

⇒ và  

Thay vào (1) ta được ĐPCM.

Bài 19: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A'; B'; C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng BB' + CC' = 2AA'

Trả lời:

Gọi N là hình chiếu của M trên d.

Xét tứ giác BB'CC' có BB' // CC' (cùng vuông góc d)

⇒ BBCC' là hình thang.

M là trung điểm BC và MN // BB' // CC' (cùng vuông góc d)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BBCC'

⇒ BB' + CC' = 2MN (1)

Chứng minh được

⇒ AA' = MN  (2)

Từ (1); (2) suy ra BB' + CC' = 2AA'

Bài 20: Cho tam giác cân  (), đường phân giác góc  cắt  tại  và cho biết  cm,  cm.

1. a) Tính , .
2. b) Đường vuông góc với tại cắt đường thẳng  kéo dài tại . Tính .

Trả lời:

1. a) Ta có cm. (1)

và .       (2)

Từ (1) và (2) suy ra

.

Từ đó suy ra  cm,  cm.

1. b) Vì nên là phân giác ngoài của góc  của tam giác .

Khi đó ta có . Suy ra .

Suy ra  hay . Do đó  cm.