ÔN TẬP CHƯƠNG VII: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC NHẤT (PHẦN 2)

Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với  vân tốc trung bình 30 km/h. Khi  đến B người đó nghỉ 20 phút  rồi quay trở về A  với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB,  biết thời gian cả đi và về là 5 giờ 50 phút.

Trả lời:

Gọi chiều dài của quãng đường AB là x (km) (x > 0)

Thời gian người đi xe máy đi từ A đến B là  (h)

Thời gian người đi xe máy đi từ B đến A là (h)

Vì người đi xe máy nghỉ tại B 20 phút và tổng thời gian cả đi và về là là 5 giờ 50 phút do đó ta có phương trình

 + +  = 5

Giải PTBN ta được x = 75.

Vậy độ dài quãng đường AB là 75 km/h.

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 1    

Trả lời:

 Xét hàm số y = 2x + 1.

+ Với x = 0 thì y = 2.0 + 1 = 1.

+ Với y = 0 ⇒ x =

Vậy đồ thị hàm số y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua hai điểm

Hệ số góc k = 2.

Bài 3: Giải phương trình sau

Trả lời:

Bài 4: Hiệu hai số là 12. Nếu chia số bé cho 7 và lớn cho 5 thì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị.  Tìm hai số đó.

Trả lời:

Gọi số bé là  

Số lớn là

Chia số bé cho 7 ta được thương là:

Chia số lớn cho 5 ta được thương là:     

Vì thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai 4 đơn vị nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được  

Vậy số bé là 28.

Số lớn là: 28 +12 = 40.

Bài 5:  Cho các hàm số:  và

1. a) Xác định để hàm số đồng biến, còn hàm số  nghịch biến.
2. b) Xác định để đồ thị của hàm số song song với nhau.

Trả lời:

1. a) Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến:

1. b) Đồ thị của hai hàm số song song với nhau:

Bài 6: Trong cùng mặt phẳng tọa độ, cho và đường thẳng (m là tham số). Xác định m để:

a)tiếp xúc.

b)cắt tại 2 điểm phân biệt.

c)và không có điểm chung.

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:  có

a)tiếp xúc khi phương trình (*) có nghiệm kép

b)cắt tại hai điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt

c)và không có điểm chung khi (*) vô nghiệm

Vậy tiếp xúc khi hoặc

 cắt tại hai điểm phân biệt khi hoặc

 và không có điểm chung khi.

Bài 7: Cho Parabol và đường thẳng

1. a) Vẽ đồ thị.
2. b) Viết phương trình đường thẳng biết song song với đường thẳng và tiếp xúc

Trả lời:

a)Vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

1. b) Gọi phương trình đường thẳng có dạng

Vì song song với nên ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

      (*)

Vì tiếp xúc với nên (*) có nghiệm kép (thỏa mãn).

Vậy phương trình đường thẳng là:

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(5; 4) và tạo với trục Ox một góc bằng 45°

Trả lời:

Gọi đường thẳng cần tìm là d y = ax + b (a ≠ 0)

Vì 45° < 90°  nên a = tan45° = 1

Vì d đi qua B(5; 4) nên ta thay x = 5; y = 4; a = 1 vào d ta được

4 = 1.5 + b

⇔ 4 = 5 + b

⇔ b = −1

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = x – 1.

Bài 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng:

1. a) Tìm a để ba đường thẳng có một điểm chung.
2. b) Với giá trị của a vừa tìm được, hãy tính chu vi và diện tích của tam giác tạo bởi với các trục Ox, Oy.

Trả lời:

1. a) Tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:

Thay vào phương trình ta được

1. b) Với thì

Từ đó ta tính được đường thẳng cắt trục hoành tại , cắt trục tung tại, suy ra

Chu vi tam giác OAB là:

Diện tích tam giác OAB là:

Bài 10: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng? Biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.

Trả lời:

Gọi vận tốc của tàu khi nước yên lặng là x km/h (x>0)

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là:  km/h

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là:  km/h

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: h

Thời gian tàu đi ngược dòng là: h

Vì thời gian cả đi lẫn về là 8h 20 phút  = h nên ta có phương trình:

Giải phương trình ta được  (loại)  (tmđk) .

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h   

Bài 11: Chứng minh hàm số  nghịch biến trên  

Trả lời:

 Đặt

TXĐ: xác định với mọi

Với mọi  bất kì và .

Xét  

(do )

Vậy hàm số  nghịch biến (đpcm)

Bài 12: Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10km, Ca nô đi từ A đến B mất 2 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17km/h. 

Trả lời:

Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0).

Vận tốc của ô tô là:  (km/h).

Quãng đường ca nô đi là: (km).

Quãng đường ô tô đi là  (km).

Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình

Giải phương trình ta được   (thỏa mãn đk).

Vậy vận tốc ca nô là 18 km/h. Vận tốc ô tô là  (km/h).

Bài 13: Giải phương trình

Trả lời:

1. a)

Tập nghiệm

Bài 14: Tìm điểm cố định của các đồ thị hàm số sau

1. (d1): y = (m − 1)x + 2m − 3.
2. (d2): y = (2m + 1)x + 3 − 2m.

Trả lời:

1. Điều kiện để đường thẳng (d1) đi qua điểm cố định M(x₀; y₀) với mọi m là:

⇔

⇔   ⇔

Vậy đường thẳng (d1) đi qua điểm cố định M(−2; −1)

2. (d2): y = (2m + 1)x + 3 − 2m.

Điều kiện để đường thẳng (d2) đi qua điểm cố định N(x0; y0) với mọi m là:

y₀ = (2m + 1)x₀ + 3 − 2m với mọi m

⇔ (2x₀ − 2)m + (x₀ − y₀ + 3) = 0 với mọi m

⇔  ⇔

Bài 15: Hàm số  đồng biến trong khoảng nào?

Trả lời:

Ta có . Lại có:

Từ đó ta có bảng sau:

Từ bảng trên suy ra hàm số đã cho đồng biến trong khoảng .

Bài 16: Giải các phương trình sau:

1. a)
2. b)
3. c)

Trả lời:

1. a)

. Tập nghiệm

1. b)

. Tập nghiệm

1. c)

Vậy phương trình có tập nghiệm .

Bài 17: Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên  .

Trả lời:

Với mọi  ta có:

Do  với mọi  và  nên ta có:

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 18: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.

Trả lời:

Gọi số tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (tuổi), x nguyên, dương.

Số tuổi người thứ nhất cách đây 10 năm là  (tuổi).

Số tuổi người thứ hai cách đây 10 năm là  (tuổi).

Sau đây 2 năm tuổi người thứ nhất là  (tuổi).

 Sau đây 2 năm tuổi người thứ hai là  (tuổi).

Theo bài ra ta có phương trình phương trình như sau:

Giải phương trình ta được  (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tuổi hiện nay của ngườ thứ nhất là 46 tuổi.

Số tuổi hiện nay của người thứ hai là  tuổi.

Bài 19: Cho và

Xác định m để cắt tại hai điểm; sao cho

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Xét

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Do

Vậy với hoặc thì cắt tại hai điểm phân biệt.

Bài 20: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng có phương trình  

(k là tham số ).

1. a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng song song với đường thẳng

Khi đó hãy tính góc tạo bởi với tia Ox.

1. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.

Trả lời:

1. a) Phương trình của đường thẳng

Để đường thẳng song song với đường thẳng thì

Giải phương trình ta được

Góc tạo bởi với tia Ox là

1. b) Dễ thấy luôn đi qua điểm

Gọi H là hình chiếu của O trên, ta có

Phương trình OM là

Dấu bằng xảy ra khi

Khi đó

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất khi