ÔN TẬP CHƯƠNG XI: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (PHẦN 3)

Bài 1: Cho 2 tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau. Biết chu vi tam giác ABC là 40cm; AB = 4cm; MN = 10cm . Tính chu vi tam giác MNP?

Trả lời:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP nên

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

Bài 2: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau.

1. a) 9cm, 15cm, 12cm.
2. b) 5dm, 13dm, 12dm.
3. c) 7m, 7m, 10m.

Trả lời:

1. a) Ta có

Mà

Nên theo định lí Py – ta – go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 9cm ,12cm ,15cm là tam giác vuông.

1. b) Ta có

Mà

Nên theo định lí Py – ta – go đảo tam giác có độ dài 3 cạnh 5dm, 13dm,12dm là tam giác vuông.

1. c) Ta có

Mà

Nên tam giác có độ dài 3 cạnh 7m, 7m, 10m không là tam giác vuông.

Bài 3: Chứng minh rằng nếu A’B’C’ đồng dạng với ABC theo tỉ số k thì tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng cũng bằng k.

Trả lời:

1. a) có AD và lần lượt là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A và A’ xuống cạnh BC và B’C’ của hai tam giác đó.

Ta có    và có  .

Vậy  (c.g.c)

Từ đó suy ra

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và  đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và  cũng bằng k.

Trả lời:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có

Với  là chu vi tam giác ABC và  là chu vi tam giác  

Bài 5:  Trong các hình dưới đây hình nào đồng dạng với nhau?

Trả lời:

* Xét tỉ số đồng dạng của hình a) và hình b) ta có

Vậy a) và b) là cặp hình đồng dạng.

* Xét tỉ số đồng dạng của hình a) và hình c) ta có

Vậy a) và c) không phải là cặp hình đồng dạng.

Suy ra b) và c) cũng không phải là cặp hình đồng dạng.

Bài 6: Kẻ đường cao BD và CE của tam giác ABC và các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng minh AD.AE = AB.AG = AC.AF

Trả lời:

1. a) Xét  và  có  chung và   (giả thiết)

nên tam giác ADB đồng dạng với tam giác AGE (g.g)

Tương tự tam giác ADF đồng dạng với tam giác ACE.

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 7: Tam giác ABC có , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh a² = b² + c² + bc

Trả lời:

Kẻ  tại H

Xét tam giác BHA vuông ta có

Xét tam giác BHC vuông ta có

Hay

Bài 8: Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt AC và AB theo thứ tự tại F và E.

Chứng minh rằng:   

Trả lời:

DF//AB nên  

DE//AC nên  

Do đó

 (đpcm)

Bài 9: Một tam giác đồng dạng với một tam giác có các cạnh là 15, 20, 30. Tính các cạnh của tam giác này nếu chu vi của nó bằng 26.

Trả lời:

Gọi các cạnh của tam giác cần tìm là a, b, c ta có

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm. Các điểm D, E lần lượt trên các cạnh AB, AC sao cho AD = 3cm, AE = 4cm

1. a) Chứng minh rằng DE // BC
2. b) M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2,5MC. Gọi N là giao điểm của AM và DE. Chứng minh rằng DN = 2,5NE

Trả lời:

1. a) Ta có (vì ) (1)

Xét  có (định lý Ta - lét đảo )

1. b) Xét có nên

Xét  có  nên

Từ (1) và (2) và (3) có

Mà  (gt), nên

Bài 11: Cho  vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH. Gọi O là giao điểm của AN với CM. Chứng minh:

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Trả lời:

1. a) Ta có:

=>

1. b) Ta có:
2. c)

Gọi O là giao điểm của CM và AN. Xét , có:

1. d)

Bài 12: Cho tam giác Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k =

1. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho.
2. b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là 40dm. Tính chu vi của hai tam giác đã cho.

Trả lời:

1. a) Ta có Δ A'B'C' ∼ Δ ABC
2. b) Theo giả thiết ta có P_ABC- P_A'B'C'= 40dm

Khi đó ta có 

hay

Bài 13: Cho hình thoi ABCD có . Gọi M là một cạnh thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB tại N.

1. a) Chứng minh ;
2. b) BM cắt DN tại P. Tính góc .

Trả lời:

1. a) Ta có (do AD // BC) suy ra hay  (1)  (vì BC = AB).

Ta có NA // DC (do AB // DC) suy ra hay  (2) (vì  ).

Từ (1) và (2) suy ra hay .

1. b) Từ

Xét BND và DBM có và .

Suy ra (c.g.c)

Mà nên .

Bài 14: Cho  có  . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho  . Chứng minh rằng

1. a) vuông
2. b)

Trả lời:

1. a) Có: .

Vậy  vuông tại  (Định lý Pythagore đảo)

1. b) Áp dụng định lý Pythagore cho vuông tại có:

Có  nên .

 có  nên  cân tại .

   (t/c tam giác cân) (1)

Lại có:   (tính chất góc ngoài tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm.

1. a) Tính BC.
2. b) Từ trung điểm M của BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC tại H và cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh DEMB ~ D
3. c) Tính EB và EM.
4. d) Chứng minh BH vuông góc với EC.

Trả lời:

1. a) (Pitago)
2. b) (góc chung) (g.g)
3. c)
4. d) ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC,

Bài 16: Hình nào đồng dạng phối cảnh với tam giác OCD?

Trả lời:

Quy ước mỗi ô vuông có cạnh bằng 1cm. Sử dụng thước đo để đo độ dài các cạnh của tam giác.

Ta có  nên tam giác OPQ đồng dạng phối cảnh với tam giác OCD với tỉ số

Bài 17: Cho hình thang  có (AB//DC). E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng È đi qua trung điểm của AB và qua trung điểm của DC.

Trả lời:

Qua F vẽ đường thẳng song song với DC và cắt AD tại I, cắt BC tại K, vì IK//DC,AB//DC ( gt) nên IK//AB.

FAB có AB//DC nên  ( hệ quả của định lý Ta – lét)

 hay

có IF//DC, nên  (hệ quả của định lý Ta - lét)

BDC có FK//DC, nên  (hệ quả của định lý Ta - lét)

Suy ra IF = FK.

có IF//DN, nên  (hệ quả của định lý Ta - lét)

ECN có FK//NC, nên  (hệ quả của định lý Ta - lét)

Do đó  mà

Bài 18: Cho hình vuông  , cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD tại I. Trên EB lấy điểm M sao cho  

1. a) Chứng minh
2. b) Chứng minh .
3. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

Trả lời:

1. a) Chứng minh

Tam giác EMC có trung tuyến  nên là tam giác vuông tại M.

1. b) Chứng minh
2. c) Tính diện tích tam giác EMC theo a.

Bài 19: Hình dưới đây mô tả dụng cụ đo bề dày của một số loại sản phẩm. Dụng cụ này gồm thước AC được chia đến 1mm và gắn với một bản kim loại hình tam giác ADB, khoảng cách BC = 10mm. Muốn đo bề dày của vật, ta kẹp vật vào giữa bản kim loại và thước (đáy vật áp vào bề mặt của thước AC). Khi đó trên thước AC ta đọc được “bề dày” d của vật (trên hình vẽ ta có d = 5,5cm). Hãy chỉ rõ định lý nào của hình học là cơ sở để ghi các vạch trên thước AC (d ≤10mm).

Trả lời:

Ta có MN // BC

Do đó, khi đọc AM = 5,5 cm thì đọc MN = d = AM = 5,5 mm

Bài 20: Cho có 3 góc nhọn, các đường cao  cắt nhau ở . Chứng minh

1. a)
2. b) và suy ra các hệ thức tương tự
3. c) và suy ra các kết quả tương tự
4. d) và
5. e) và suy ra các kết quả tương tự.
6. f) Điểm H cách đều 3 cạnh của

Trả lời:

1. a) Vì là đường cao của

Xét  và  có

    (1)

Xét  và  có 

  và

 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

1. b) Xét và có

1. c) Xét và có

Xét  và   có

Tương tự ta có  

1. d) Vì

Xét  và có

Chứng minh tương tự ta có

1. e) Vì (cùng phụ với)

Xét  và có

Tương tự ta có  

1. f)

 là tia phân giác  (3)

Lại có  (cùng phụ với)

Mà  

là tia phân giác  (4)

Từ (3) và (4) suy ra H là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác FED hay H cách đều 3 cạnh của tam giác FED