Bài tập file word Toán 9 chân trời Bài 3: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

BÀI 3: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (4 câu)

Câu 1: Bài 1: Giải hệ phương trình

Trả lời:

Từ phương trình thứ hai, ta có:  

Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

hay

Thay vào phương trình được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

hay

Từ phương trình thứ nhất, ta có: thế vào phương trình thứ hai ta được:

hay

Vậy phương trình có vô số nghiệm.

Từ phương trình thứ nhất, ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được: hay

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Từ phương trình thứ nhất ta có (1), thế vào phương trình thứ hai ta được:

hay

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Câu 2: Giải hệ phương trình

Trả lời:

a)

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được:

hay

Thay vào phương trình (1), ta được

Vậy phương trình có nghiệm là

b)

Từ phương trình thứ hai ta có: (1), thế vào phương trình thứ nhất ta được: hay

Thay vào phương trình (1) ta được:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

c)

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được: hay

Thay vào phương trình (1), ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Câu 3: Giải hệ phương trình

Trả lời:

Câu 4:Cho hệ phương trình , trong đó là số đã cho. Giải hệ phương trình trong mỗi trường hợp sau:

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (4 câu)

Câu 1: Giải hệ phương trình:

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

a)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với ta được:  

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1) thế vào phương trình thứ hai ta được: hay

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy phương trình có nghiệm là

b)

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được:  

hay

Thay vào phương trình (1) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là

c)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với ta được:  

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được: hay

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy nghiệm của phương trình là .

d)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với , ta được:  

Từ phương trình thứ nhất ta có: (1), thế vào phương trình thứ hai ta được: hay

Thay vào phương trình (1), ta được:

Vậy phương trình có nghiệm là

Câu 2: Giải hệ phương trình

Trả lời:

Giải hệ phương trình

a)

 hay

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình mới ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

b)

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với 2, ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình mới, ta được: (vô lí)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5; Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 6, ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình trên ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

d)

Cộng từng vế của hai phương trình trên ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

Câu 3: Giải các hệ phương trình:

a)

b) ;

c) .

Trả lời:

Câu 4: Giải các hệ phương trình:

a)

b) .

Trả lời:

3. VẬN DỤNG (7 câu)

Câu 1: Giải các hệ phương trình sau (đặt ẩn phụ): 

a) ;

) .

Trả lời:

a)  

ĐKXĐ: và

Đặt với ta được hệ phương trình mới là

Cộng từng vế hai phương trình của hệ (4), ta được hay (Thoả mãn).

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (4), ta được suy ra (Thoả mãn).

Ta có , suy ra  (Thoả mãn) và (Thoả mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

b)

ĐKXĐ: và .

Đặt với ta được hệ phương trình mới là

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta được 5 hay (Thoả mãn).

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (1), ta được suy ra .

Ta có , suy ra hay (Thoả mãn).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Câu 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

a) Hai vòi nước chảy cùng vào một bể không có nước thì trong 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ I chảy trong 2 giờ, vòi thứ II chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vòi chảy bao lâu thì sẽ đầy bể? 

b) Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác, tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc.

c) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1 giờ, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước chảy vào bằng bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn?

d) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.

Trả lời:

a)

Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là (giờ)

Gọi thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là (giờ)

Trong 1 giờ, vòi I chảy được (bể); Trong 1 giờ vòi II chảy được (bể)

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được: (bể) (1)

Trong 2 giờ, vòi I chảy được (bể); Trong 3 giờ vòi II chảy được (bể)

Theo đầu bài ta có phương trình (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được

Trừ từng vế của hai phương trình mới ta được: hay

Thay vào phương trình ta được:

hay suy ra .

Ta thấy đều thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy nếu chảy một mình để đầy bể thì vòi I cần 10 giờ, vòi II cần 15 giờ.

b)

Gọi thời gian tổ I làm một mình xong công việc là (giờ) ()

Gọi thời gian tổ II làm một mình xong công việc là (giờ) 

Trong một giờ, tổ I làm được: công việc; Trong 1 giờ tổ II làm được công việc.

Trong một giờ cả hai tổ làm được: công việc (1)

Vì hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ một được điều đi làm việc khác, tổ hai làm tiếp 10 giờ thì xong công việc, nên ta có phương trình: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy tổ I làm trong 60 giờ thì xong công việc; tổ II làm trong 15 giờ thì xong công việc.

c)

Gọi số giờ vòi 1 chảy đầy bể là (giờ); Gọi số giờ vòi 2 chảy đầy bể là (giờ)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được bể; Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được bể.

Nếu vòi 1 chảy trong 3 giờ rồi dừng lại, vòi 2 chảy tiếp 8 giờ nữa thì đầy bồn, ta có phương trình: (1)

Nếu vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1 giờ, rồi cho cả hai vòi chảy tiếp trong 4 giờ thì được bể, ta có phương trình: hay (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình

Giải hệ ta được thỏa mãn điều kiện

Vậy nếu chảy 1 mình thì vòi 1 chảy trong 9 giờ đầy bồn, vòi 2 chảy trong 12 giờ đầy bồn.

d)

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là (giờ)

Gọi thời gian vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể là y (giờ)

Trong 1 giờ, vòi thứ 1 chảy được bể; Trong 1 giờ vòi thứ 2 chảy được bể

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được bể (1)

Vì nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể, ta có phương trình: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được (thỏa mãn điều kiện)

Vậy để chảy một mình đầy bể thì vòi 1 chảy trong 5 giờ, vòi 2 chảy trong 10 giờ.

Câu 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

a) Quãng đường AC qua B dài 270km, một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 60km/h rồi đi từ B đến C với vận tốc 40km/h, tất cả hết 6giờ, Tính thời gian ô tô đi quãng đường AB và BC.

b) Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu một quãng đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại cùng một điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28km. Tính vận tốc xe đạp và ô tô biết quãng đường dài 180km

c) Một ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h, rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc 45km/h. Biết tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km và thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 30 phút. Tính thời gian ô tô đi trên mỗi quãng đường?

d) Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km, rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng trên quãng sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km thì hết 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?

Trả lời:

a)

Gọi thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là (giờ)

Gọi thời gian xe tải đi hết quãng đường BC là (giờ), ()

Độ dài quãng đường AB là (km)

Độ dài quãng đường BC là (km)

Vì tổng quãng đường AC dài 270 km nên ta có phương trình: (1)

Tổng thời gian xe tải đi hết quãng đường AC là 6 giờ, nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình hay

Trừ từng vế của hai phương trình mới ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Ta thấy thỏa mãn điều kiện.

Vậy xe tải đó đi quãng đường AB hết giờ ; đi quãng đường AC hết giờ

b)

Gọi vận tốc của ô tô đi là: (km/h),

Gọi vận tốc của xe đạp đi là: (km/h),

Vì ô tô và xe đạp chuyển động từ 2 đầu một đoạn đường, sau 3 giờ thì gặp nhau mà quãng đường dài 180km, nên ta có: (1)

Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km , nên ta có: (2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình hay

Giải hệ phương trình được thỏa mãn điều kiện

Vậy vận tốc của xe ô tô là 44 km/h; vận tốc của xe đạp là 16 km/h.

c)

Đổi 30 phút = 0,5 giờ

Gọi thời gian ô tô đi quãng đường AB là (giờ), thời gian ô tô đi quãng đường AC là (giờ)

Ô tô đi quãng đường AB với vận tốc 50km/h trong (giờ) nên quãng đường AB dài là: (km)

Ô tô đi quãng đường BC với vận tốc 45km/h trong y (giờ) nên quãng đường BC dài là: (km)

Tổng chiều dài quãng đường AB và BC là 165km nên ta có:

(1)

Thời gian ô tô đi quãng đường AB ít hơn thời gian ô tô đi quãng đường BC là 0,5 giờ nên ta có: (2)

Từ (1)(2) có hệ phương trình hay

Giải hệ phương trình ta được thỏa mãn điều kiện đầu bài.

d)

Gọi vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước lần lượt là (km/h; )

Vận tốc cano xuôi dòng là (km/h)

Vận tốc cano ngược dòng là (km/h)

Đổi 2 giờ 30 phút = giờ; 1 giờ 20 phút = giờ

Vì cano xuôi dòng sông dài 12 km rồi ngược dòng hết giờ nên ta có phương trình:

(1)

Vì cano xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết giờ nên ta có phương trình:

(2)

Từ (1)(2) ta có hệ phương trình:

Đặt: và

Hệ phương trình trở thành:  

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được:

Trừ từng vế của hai phương trình mới, ta được: hay

Thay vào phương trình ta được

Trả lại biến ban đầu: hay

Cộng từng vế của phương trình trên ta được: và (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

a) Một hình chữ nhật có chu vi 80m. Nếu tăng chiều dài thêm 3m, tăng chiều rộng thêm 5m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195m². Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.

b) Một thửa ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m². Nếu cùng giảm cả chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m². Tính diện tích của thửa ruộng đó?

Trả lời:

Câu 5: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

a) Nhóm 1 và nhóm 2 dự định cùng nhau hợp tác sản xuất 155 bộ bàn ghế. Nhưng do cải tiến kĩ thuật, nhóm 1 sản xuất vượt mức 10%, nhóm 2 sản xuất vượt mức 8% nên thực tế hai nhóm đã sản xuất được 169 bộ bàn ghế. Tính số bộ bàn ghế mà nhóm 1 và nhóm 2 dự định sản xuất?

b) Lớp 9A, 9B tham gia gói quà Trung thu cho các em nhỏ có hoàn cảnh khó khăn. Cả hai lớp dự định gói 160 phần quà. Nhưng do vận động được thêm một số bạn ngoài lớp tham gia nên số phần quà gói được của lớp 9A tăng 15%, còn số phần quà gói được của lớp 9B tăng 10% nên cả hai lớp gói được 179 phần quà. Tính số quà dự định gói của lớp 9A và 9B.

c) Tổng số sách giáo khoa và sách bài tập trên một kệ sách của thư viện là 145 quyển. Do nhập thêm sách, nên số sách giáo khoa đã tăng thêm 15%, sách bài tập tăng thêm 20%. Do đó tổng số sách trên kệ là 171 quyển. Tính số sách giáo khoa, sách bài tập lúc chưa nhập thêm.

d) Tâm mua 1 bộ quần áo kiểu với giá 320 nghìn đồng. Lúc Duyên gặp Tâm thấy bộ quần áo đẹp nên đã hỏi tìm chỗ mua với giá bán hiện tại là 354 nghìn đồng. Được biết sự chênh lệnh giá là do dịp gần Tết khan hiếm hàng nên một chiếc quần đã tăng giá 11%, một chiếc áo tăng giá 10%. Tính giá một chiếc quần và một chiếc áo lúc chưa tăng giá.

Trả lời:

Câu 6: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong ngày, tổ thứ hai may trong ngày thì cả hai tổ may được chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo?

Trả lời:

Bài 7: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức xí nghiệp 2 vượt mức do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm.

Trả lời:

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

 Câu 1: Trong một buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp chi có chỗ ngồi, nhưng số người tới dự hôm đó có tới người. Do đó phải đặt thêm dãy ghế và thu xếp để mỗi dãy ghế thêm được người ngồi nữa mới đủ. Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu dãy ghế?

Trả lời:

Gọi lần lượt là số dãy ghế ban đầu và số ghế có trong một dãy ban đầu.

Điều kiện:

Theo đề bài, phòng họp có 320 chỗ ngồi, ta có phương trình sau:

Số người tới dự buổi văn nghệ là 420 người nên phải đặt thêm 1 dãy ghế, mỗi dãy thêm 4 ghế, ta có phương trình sau:

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình là

Thay vào phương trình (2), ta nhận được phương trình mới là:

Khi đó, ta có hệ phương trình mới là

Từ phương trình (2’), ta có:

Thế vào phương trình (1), ta có:

Giải phương trình (*), ta được: (thoả mãn); (thoả mãn).

Thay vào phương trình (3), ta có: (thoả mãn);

Thay vào phương trình (3), ta có: (thoả mãn).

Vậy lúc đầu phòng họp có 20 dãy ghế, mỗi dãy có 16 ghế hoặc 4 dãy ghế, mỗi dãy có 80 ghế.

------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------