BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 9

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(2; 1), B(1; 4), C(4; 5), D(5; 2).

1. Chứng minh ABCD là hình vuông. 
2. Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD.

Đáp án:

1. a) Ta có: = (-1; 3), = (-1; 3)   =  

 ABCD là hình bình hành.

Lại có:  = (3; 1)  .  = -1. 3 + 3. 1 = 0

    hay AB  AD

 Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Ta có: AD = || =  =

          AB = || =  =

 AB = AD  Hình chữ nhật ABCD là hình vuông (đpcm).

1. b) Tâm I của hình vuông ABCD là trung điểm của AC I = (; ) I = (3; 3)

Vậy I = (3; 3).

Bài 2: Cho AB và CD là dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O). Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ để chứng minh EF vuông góc với DB.

Đáp án:

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ. A(a; 0), B(b; 0), C(0; c), D(0; d). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại E (trùng với gốc tọa độ O).

Vì ACEF là hình chữ nhật nên F(a; c). 

Gọi I là tâm đường tròn (O), K và H lần lượt là chân đường cao hạ từ I tới AB, CD.

 K là trung điểm của AB  K = (; 0)

     H là trung điểm của CD  H = (0; )

 I = (; )

Ta có:  = (a - ; -) = (; -)

          = ( -; c - ) = (-; 

Vì IA = IC (=R)   +  =  + 

  +  =  +

  = 

 4ab = 4cd  ab = cd  ab - cd = 0

Ta có:  = (-a; -c},  = (-b; d)

 .  = (-a).(-b) - c.d = ab - cd = 0 (chứng minh trên)

    hay EF  BD (đpcm).

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ trong mỗi trường hợp sau:

1. d₁: x−y+2=0 và d₂: x+y+4=0;
2. d₁: và d₂: x−3y+2=0;
3. d₁:  và d₂:  

Đáp án:

1. a) Đường thẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là  = (1; -1) và  = (1; 1).

Ta có: .  = 1. 1 + (-1). 1 = 0 nên  và  là hai vectơ vuông góc

     (, ) = .

Giao điểm M của  và  là nghiệm của hệ phương trình: 

Vậy  và  vuông góc và cắt nhau tại M(-3; -1).

1. b) Ta có: = (1; 2) là vectơ chỉ phương của   = (2; -1) là vectơ pháp tuyến của .

Phương trình tổng quát của  đi qua điểm A(1; 3) và nhận  = (2; -1) làm vectơ pháp tuyến là:   

Đường thẳng  có vectơ pháp tuyến là  = (1; -3)

Ta có:      và  là hai vectơ không cùng phương.

  và  cắt nhau. Giao điểm M của  và  là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có: cos(, ) =  =   (, ) =

Vậy  cắt  tại điểm M(; ) và (, ) = .

1. c) Phương trình tổng quát của và lần lượt là:

:  và :

Ta có: .  = 3. 1 + 1. (-3) = 0     hay     (, ) = .

Giao điểm M của đường thẳng  và  là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy  và  vuông góc và cắt nhau tại M(; ).

Bài 4: Tính bán kính của đường tròn tâm M(-2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng:  d: 14x−5y+60=0

Đáp án:

Ta có: R = d(M; d) =  = 

Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

Δ: 6x+8y−13=0

Δ′: 3x+4y−27=0

Đáp án:

Ta có:  =      //

Lấy điểm A(0; )  .

Ta có: d(, ) = d(A; ) =  = 

Bài 6: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn có phương trình:

1. (x−2)²+(y−7)²=64;
2. (x+3)²+(y+2)²=8;
3. x²+y²−4x−6y−12=0.

Đáp án:

1. Phương trình đường tròn có dạng (x−a)²+(y−b)²= R²

⇒ Đường tròn có tâm I(2; 7) và bán kính R = 8.

1. Phương trình đường tròn có dạng (x−a)²+(y−b)²= R²

⇒ Đường tròn có tâm I(-3; -2) và bán kính R = 2.

1. Phương trình có dạng x²+ y²−2ax−2by+c=0 với a = 2, b = 3, c = -12

Ta có: a²+b²−c = 2²+3²+12=25

Vậy đường tròn có tâm I(2; 3) và bán kính R =  = 5.

Bài 7: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

1. Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9;
2. Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5);
3. Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x+y−16=0;
4. Đi qua gốc tọa độ và cắt hai trục tọa độ tại các điểm có hoành độ là a, tung độ là b.

Đáp án:

1. a) Phương trình đường tròn có tâm I(-2; 4) và bán kính R = 4 là:
2. b) Ta có R = IA = =

Phương trình đường tròn có tâm I(1; 2) và bán kính R =  là:

1. c) Phương trình đường tròn tâm I(a; b) có dạng:

Vì I(a; b) thuộc đường thẳng 4x + y - 16 = 0 và các điểm A(4; 1), B(6; 5) thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình sau:

Vậy phương trình đường tròn là:

1. d) Phương trình đường tròn (C) tâm I(m; n) có dạng:

Vì O(0;0)  (C) nên thay tọa độ O(0; 0) vào (C) ta được c = 0

Vì (C) cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (a; 0) và cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; b) nên ta có:

   (vì a  0, b 0)

Vậy phương trình đường tròn (C) là: 

Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x−5)²+(y−3)² = 100 tại điểm M(11; 11)

Đáp án:

Ta có: (C) có tâm I(5; 3).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M(11; 11) là:

Bài 9: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

1. =1;
2. =1;
3. x²+16y²=16

Đáp án:

1. (E): = 1

Phương trình elip (E) có dạng:  =1

⇒ a = 10; b = 6 ⇒ c =   = 8

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-8; 0) và (8; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-10; 0), (10; 0), (0; -6); (0; 6)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 10 = 20; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 6 = 12.

1. (E): =1

Phương trình elip (E) có dạng: =1

⇒ a = 5; b = 4 ⇒ c =    = 3

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-3; 0) và (3; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-5; 0), (5; 0), (0; -4); (0; 4)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 5 = 10; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 4 = 8.

1. Ta có: x²+ 16y²= 16 ⇔  = 1

Phương trình elip (E) có dạng: =1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c =    =  

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là: (-; 0) và (; 0)

    Tọa độ các đỉnh là: (-4; 0), (4; 0), (0; -1); (0; 1)

    Độ dài trục lớn bằng 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục nhỏ bằng 2b = 2. 1 = 2.

Bài 10: Viết phương trình chính tắc của elip thỏa mãn từng điều kiện:

1. Đỉnh (5; 0), (0; 4);
2. Đỉnh (5; 0), tiêu điểm (3; 0);
3. Độ dài trục lớn 16, độ dài trục nhỏ 12;
4. Độ dài trục lớn 20, tiêu cự 12.

Đáp án:

4. a) Đỉnh (5; 0), (0; 4) a = 5; b = 4.

 Phương trình elip (E) là: .

1. b) Đỉnh (5; 0) a = 5; tiêu điểm (3; 0) c = 3

 b =  =  = 4

 Phương trình elip (E) là: .

1. c) Ta có: 2a = 16; 2b = 12 a = 8; b = 6

 Phương trình elip (E) là: .

1. d) Ta có: 2a = 20; 2c = 12 a = 10; c = 6 

 b =  =  = 8

 Phương trình elip (E) là: .

Bài 11: Tìm tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, độ dài trục thực và trục ảo của các hypebol sau:

1. =1;
2. =1;
3. x²−16y²=16;
4. 9x²−16y²=144.

Đáp án:

1. =1

Phương trình hypebol (H) có dạng:  =1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c =    = 5

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.

1.  =1

Phương trình hypebol (H) có dạng:   =1

⇒ a = 8; b = 6 ⇒ c   = 10

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-10; 0), (10; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-8; 0), (8; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 2. 8 = 16; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 6 = 12.

1. Ta có: x² −16y²=16 ⇔y²=1

⇒ a = 4; b = 1 ⇒ c =  =

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-; 0), (; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 1 = 2.

1. Ta có: 9x²−16y²=144 ⇔=1

⇒ a = 4; b = 3 ⇒ c =  5

⇒ Tọa độ các tiêu điểm là (-5; 0), (5; 0)

     Tọa độ các đỉnh là (-4; 0), (4; 0)

     Độ dài trục thực là: 2a = 2. 4 = 8; độ dài trục ảo là: 2b = 2. 3 = 6.