Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 4 bài 2: Định lí cosin và định lí sin (P1)

BÀI 2. ĐỊNH LÝ COSIN VÀ ĐỊNH LÝ SIN

KHỞI ĐỘNG 

Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Đáp án:

• Hình 1 sử dụng định lí Pytago:  =  +  =  +  ⇒ BC = 5
• Hình 2 sử dụng định lí côsin trong tam giác: 

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1:

1. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A  nhọn và . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA theo gợi ý sau:

• Xét tam giác vuông BCD, ta có a² = d² + (c - d)² =  d² + x² + c² – 2xc (1)
• Xét tam giác vuông ACD, ta có b² = d² + x²  d² = b² - x²        (2)
• cosA =  ⇒ ? = bcosA.                                                                     (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Nếu  thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

1. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA

Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = -

1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a² = b² + c² - 2bc.cosA có thể viết là a² = b² + c²

Đáp án:

1. a) cosA = x = bcosA.
2. b)

Xét tam giác CDB vuông tại D, ta có:

a² = d² + (c + x)²    (4)

Xét tam giác CDA vuông tại D, ta có:

b² = d² + x²  d² = b² - x²     (5)

Lại có: cos = - cos = -   

x = -bcosA           (6)

Thay (5), (6) vào (4), ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA

1. c) Tam giác ABC vuông tại A

  = 90

Ta có: a² = b² + c² - 2bc.cosA ó a² = b² + c² - 2bc.cos90 ó a² = b² + c²

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong Hình 4. 

Đáp án:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AC² + AB² - 2AC. AB cosA = 14² + 18² - 2. 14. 18. cos62  283,3863

 BC =   16,834

Theo hệ quả định lí côsin, ta có:

cosB =  =   0,3297    7045’

cosC =  =   0,6788    4715’

Vậy BC  16,834;   7045’;   4715’

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).

Đáp án:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cosA

       = 800² + 900² - 2. 800. 900.cos70

       ≈ 957490,9936

 BC ≈ 978,5147

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở đầu bờ hồ là 978,5147m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Bài 1:

1. Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.
2. Tính sintheo a và R.
3. Tìm mối liên hệ giữa và . Từ đó chứng minh rằng 2R = 
4. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức 2R = 

Đáp án:

a.

1. i) Xét tam giác BDC vuông tại C, ta có:

sin =  =

1. ii) Với tam giác ABC có góc A nhọn, ta có:

 =  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

 sin = sin =  2R =  

Với tam giác ABC có góc A tù, ta có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O.

  +  = 180 

 sin = sin(180) = sin  =  2R =

Vậy 2R =

1. b)

Tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O bán kính   2R = a (1)

Ta có: sinA = sin90 = 1 (2)

Từ (1) và (2)  2R =  =

Vậy 2R =

Bài 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Đáp án:

Ta có:  = 180 -  -  

               = 180 - 34 - 112 = 34

 Tam giác MNP cân tại N

 MN = NP = 22

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

 =  =  = 2R

Suy ra: MP =  =  ≈ 36,5.

Bài 3: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Đáp án:

Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).

Ta có:  = 180 - 35 - 125 = 20

Áp dụng định lí sin cho tam giác CBD, ta có:  =  =  = 2R

Suy ra: BD =  =  ≈ 1509,3 (m)

CD =  =  ≈ 2155,5 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD² = CA² + CD² - 2AC. CD. cos

        = 1800² + 2155,5² - 2. 1800. 2155,5. cos34 ≈ 1453014,5

 AD ≈ 1205, 4(m)

Nhận thấy AD < BD nên dẫn nước từ bồn chứa A sẽ dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác như Hình 10.

1. Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và 
2. Tính theo b và sinC.
3. Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức S = ab.sinC.
4. Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức S = 

Đáp án:

1. a) Xét tam giác ABC, đường cao AH:

S_ABC = . AH. BC = . h_a. a        (1)

1. b) Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

sinC =  =   h_a = b. sinC   (2)

1. c) Thay (2) vào (1), ta được: S =
2. d) Áp dụng định lí sin, ta có:

 =  =  = 2R

 sinC =

S = absinC = ab.  =

Vậy S =

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

1. Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.
2. Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: S =

Đáp án:

1. a) S_IBC = . r. BC = . r. a

    S_IAC = . r. AC =  . r. b

    S_IAB = . r. AB =  . r. c

1. b) Ta có: S_ABC = S_IBC + S_IAC + S_IAB

= . r. a + . r. b + . r. c

=

Vậy S =