Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 1: Tọa độ của vecto (P1)

BÀI 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTO

KHỞI ĐỘNG

Hãy tìm cách xác định vị trí của các quân mã trên bàn cờ vua.

Đáp án:

Gắn bàn cờ vua với hệ trục tọa độ Oxy, khi đó, các quân mã có tọa độ (x; y).

1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: Hãy nêu nhận xét về độ lớn, phương và chiều của   trên trục Ox và   trên trục Oy (Hình 1).

Đáp án:

Độ lớn của   bằng độ lớn của  , phương và chiều của hai vectơ vuông góc với nhau.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho một vectơ   tùy ý. Vẽ  =   và gọi A₁, A₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy (hình 4). Đặt  =  ,  = . Biểu diễn vectơ   theo hai vectơ   và 

Đáp án:

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M. Xác định tọa độ của vectơ 

Đáp án:

 = {x;y}

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0).

1. Vẽ các điểm D, E, F trên mặt phẳng Oxy.
2. Tìm tọa độ của các vectơ , , .
3. Vẽ và tìm tọa độ của hai vectơ đơn vị , lần lượt trên hai trục tọa độ Ox, Oy.

Đáp án:

a.

1. b) Do D(-1; 4), E(0; -3), F(5; 0) nên = (-1; 4), = (0; -3),  = (5; 0)
2. c) = (1; 0), = (0; 1)

Bài 5: Một máy bay đang cất cánh với tốc độ 240 km/h theo phương hợp với phương nằm ngang một góc 30∘ (Hình 7).

1. Tính độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật ABCD.
2. Biểu diễn vectơ vận tốctheo hai vectơ và .
3. Tìm tọa độ của 

Đáp án:

240. a) AB = DC = AC.cos 30^o = 240.cos30^o = 120(km)

BC = AD = AC.sin30^o = 240.sin30^o = 120 (km)

1. b) = 120+ 120
2. c) = (120; 120)

2. BIỂU ĐỒ TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ a⃗ , b⃗  theo hai vectơ i⃗ , j⃗  như sau: a⃗  =  +  ; b⃗  = +  .

1. Biểu diễn từng vectơ: + ,  -  , k   theo hai vectơ  ;  .
2. Tìm a⃗. b⃗theo tọa độ của hai vectơ a⃗  và b⃗ .

Đáp án:

1. a) + =  +  +  +  = ( + ) + ( + ) 

 -  =  +  -  -  = ( - ) + ( - ) 

k = k( + ) = k + k

1. b) . = (+ )( + ) = .  + .  + .  + . 

=  +  + . +  

= . + .+ .. + . (vì   )

=  + 

Bài 2: Cho hai vectơ m⃗  = (-6; 1), n⃗  = (0; -2)

1. Tìm tọa độ các vectơ + - ; 10-4
2. Tính các tích vô hướng . (10).(-4)

Đáp án:

1. a) + = (-6 + 0; 1 - 2) = (-6; -1)

 -  = (-6 - 0; 1 + 2) = (-6; 3)

10 = (10. (-6); 10. 1) = (-60; 10)

-4 = (-4. 0; -4.(-2)) = (0; 8)

6. b) . = -6. 0 + 1. (-2) = -2

(10).(-4) = -60. 0 + 10. 8 = 80

Bài 3: Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v⃗  = (10; -8) (Hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là w⃗  = (3,5; 0). Tìm tọa độ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ .

Đáp án:

 +  = (10 +3,5; -8 + 0) = (13,5; -8)

3. ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTƠ

Bài 1: Cho hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Từ biểu thức  =  - , tìm tọa độ vectơ  theo tọa độ hai điểm A, B.

Đáp án:

Vì A(; ), B(; )

  = {; );  = (; )

Ta có:  =  -  = ( - ;  - )

Bài 2: Cho E(9; 9); F(8; - 7), G(0; -6). Tìm tọa độ của các vectơ

Đáp án:

 = ( - ;  - ) = (9 - 8; 9 - (-7)) = (1; 16)

 = ( - ;  - ) = (0 - 8; -6 -(-7)) = (-8; 1)

 = ( - ;  - ) = (0 - 9; -6 - 9) = (-9; -15)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh là A (x_A; y_A)_; B (x_B; y_B) và C (x_c; y_c). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

1. Biểu thị vectơ theo hai vectơ   và  .
2. Biểu thị vectơ theo ba vectơ 
3. Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Đáp án:

1. a) Vì M là trung điểm AB nên: = 

  -  =  ( - ) 

  =  ( + )

1. b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên 3= +  + 

  =  ( +  + )

1. c) M(; ); G(; )

Bài 4: Cho tam giác QRS có tọa độ các đỉnh là Q(7; - 2), R(-4; 9) và S(5; 8).

1. Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh QS.
2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác QRS.

Đáp án:

1. a) Ta có: = =  = 6;  =  =  = 3

Vậy M(6; 3)

1. b) Ta có: = =  = ;  =  =  = 5

Vậy G(; 5)

Bài 5: Cho hai vectơ a⃗  = (a₁; a₂), b⃗  = (b₁; b₂) và hai điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B). Hoàn thành các phép biến đổi sau:

1.    .  = 0   +  = ?
2. b) và cùng phương   hay    -  = ?
3. = =
4. = ( - ;  - )  AB =  =
5. cos(, ) = = (,  khác ).

Đáp án:

1. a)   .  = 0   +  = 0
2. b) và cùng phương   hay    -  = 0
3. c) = = ;
4. d) = (- ;  - )  AB =  = ;
5. e) cos(, ) = = (,  khác ).

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh là D(2; 2), E(6;2) và F(2;6).

1. Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D.
2. Giải tam giác DEF.

Đáp án:

1. a) Xét điểm H(x; y), ta có: = (x - 2; y - 2), = (x - 6; y - 2),  = (-4; 4)

H(x; y) là chân đường cao của tam giác DEF kẻ từ D, nên ta có:

.   (x - 2).(-4) + (y - 2). 4 = 0  -4x + 4y = 0 (1)

Hai vectơ ,  cùng phương  (x - 6). 4 - (y - 2). (-4) = 0  4x + 4y - 32 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:   

Vậy H(4; 4)

1. b) Ta có: = (4; 0); = (0; 4);  = (-4; 4)

 DE = || =  = 4

DF = || =  = 4

EF = || =  =

cosD = cos(, ) =  =  = 0   =

Nhận thấy tam giác DEF vuông cân tại D   =  =

Bài 7: Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ B(50; 30) và C(32; -23). Một con tàu đang neo đậu tại điểm A(-10; 20).

1. Tính số đo của 
2. Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Đáp án:

1. a) Ta có: = (60; 10), = (42; -43),  = (-18; -53)

Suy ra: AB = || =  =   60,8

            AC = || =   60,1

           cos = cos(, )=  =   0,57    

1. b) Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo B là: AB 60,8 (km)

    Khoảng cách từ con tàu đến hòn đảo C là AC  60,1 (km)