Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 1: Tọa độ của vecto (P2)

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:  Trên trục (O;  ) cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

1. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.
2. Hai vectơ và cùng hướng hay ngược hướng.

Đáp án:

a.

1. Hai vectơ và ngược hướng nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng:

1. a⃗= (4; -6) và b⃗  = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.
2. a⃗= (-2; 3) và b⃗  = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.
3. a⃗= (0; 4) và b⃗  = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Đáp án:

1. Nhận thấy: a⃗= -2b⃗⇒ a⃗  và b⃗  ngược hướng.
2. Nhận thấy: a⃗= 4b⃗⇒ a⃗  và b⃗  cùng hướng.
3. Ta có:

Nhận thấy: a⃗  = -b⃗  mà |a⃗ | = |b⃗ | = 4

⇒ a⃗  và b⃗  là hai vectơ đối nhau.

Bài 3:  Tìm tọa độ các vectơ sau:

1. a⃗= 2i⃗ +7j⃗ ;
2. b⃗= −i⃗ +3j⃗ ;
3. c⃗= 4i⃗ ;
4. d⃗= −9j⃗ .

Đáp án:

1. a) = (2; 7);
2. b) = (-1; 3);
3. c) = (4; 0);
4. d) = (0; -9)

Bài 4: Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

1. Thuộc trục hoành;
2. Thuộc trục tung;
3. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Đáp án:

1. Điểm B(4; 0) thuộc trục hoành.
2. Điểm C(0; -3) thuộc trục tung.
3. Điểm D(2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài 5: Cho điểm M(x₀; y₀). Tìm tọa độ:

1. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;
2. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;
3. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;
4. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.
5. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Đáp án:

1. a) H(; 0) là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;
2. b) M' đối xứng với M qua trục Ox H là trung điểm của MM'

Vậy M'(; ).

1. c) K(0; ) là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy.
2. d) M'' đối xứng với M qua trục Oy K là trung điểm của MM''

Vậy M''(; ).

1. e) C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.

Vậy C(; ).

Bài 6: Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

1. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
2. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
3. Giải tam giác ABC.

Đáp án:

1. a) Xét D(x; y). Ta có: = (1; 3); = (5 - x; 5 - y)

Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  =  

Vậy D(4; 2)

1. b) Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

Vậy M(; )

1. c) Ta có: = (3; 3), = (2; 0)

Suy ra:  AB = || =  =

             AC = || =  =

             BC = || =  = 2

             cosA = cos(,) =  =  =     

             cosB = cos(,) =  =  =     

             cosC = cos(,) =  =  =    =

Bài 7: Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.
3. Giải tam giác ABC

Đáp án:

1. = (3; 1)  = (3 - x_B; 4 - y_B)

Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ MP // BC và MP = BC = BN ⇒ MPNB là hình bình hành

⇒  = 

⇒    ⬄   => B(0;3)

Ta có: N là trung điểm của BC nên    ⬄    ⬄

⇒ C(6; 5)

Ta có: M là trung điểm của AB nên   ⬄ ⬄

⇒ A(4; 1)

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

1. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có: 

  ⬄  ⬄     => G(;    (1)

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

  ⬄  ⬄     => G’(;    (2)

Từ (1) và (2) ⇒ G ≡ G'

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

1. Ta có: = (-4; 2); = (2; 4);  = (6; 2)

Suy ra: AB = | | = 

            AC = | | = 

            BC = | | = 

            cosA = cos( ,  )= 

Xét tam giác ABC có AB = AC (= ) và 

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ 

Bài 8: Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

1. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB
2. Tính chu vi tam giác OAB.
3. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Đáp án:

1. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) ⇒= (x - 1; -3); = (x - 4; -2)

Ta có: DA = DB ⇒ (x−1)²+(−3)² = (x−4)²+(−2)²

⇔ x² - 2x + 1 + 9 = x² - 8x + 16 + 4 ⇔ 6x = 10 ⇔ x = 

Vậy D(; 0)

1. Ta có: = (1; 3); = (4; 2);  = (3; -1)

Suy ra: OA = | | = 

            OB = | | = 

            AB = | | = 

⇒ Chu vi tam giác OAB là: OA + OB + AB = =

1. Ta có: = 1. 3 + 3. (-1) = 0

⇒  

⇒ 

Bài 9: Tính góc xen giữa hai vectơ a⃗  và b⃗  trong các trường hợp sau:

1. a⃗= (2; -3), b⃗  = (6; 4)
2. a⃗= (3; 2); b⃗  = (5; -1)
3. a⃗= (-2; −2), b⃗  = (3;  )

Đáp án:

1. cos (
2. cos (
3. cos (

Bài 10: Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Đáp án:

Ta có:  = (1; 7),  = (1; 7);  = (-7; 1)

Nhận thấy:  ⇒ ABCD là hình bình hành 

mà || = || (vì cùng = 5) hay AB = AD ⇒ ABCD là hình thoi             (1)

Ta có:  ⊥ AD                     (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11: Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc v⃗  = (-210; -42). Cho biết vận tốc của gió là w⃗  = (-12; -4) và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc v⃗  và w⃗ 

Đáp án:

Ta có:  +  = (-210 + (-12); -42 + (-4))= (-222; -46)

Độ dài của vectơ tổng hai vận tốc  và  là: 

| + | =  =  227 (km)