Đáp án Toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ (P1)

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ

KHỞI ĐỘNG

Tìm các giác trị của tham số a, b, c để phương trình ax + by + c = 0 có thể biểu diễn được các đường thẳng dưới đây.

Đáp án:

• Đường thẳng 1: a = 2; b = -1; c = 3
• Đường thẳng 2: a = -1; b = -1; c = 1
• Đường thẳng 3: a = 0; b = -1; c = -3
• Đường thẳng 4: a = 1; b = 0; c = 2

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀=(x₀;y₀) và cho hai vectơ n⃗  = (a; b) và u⃗  = (b; -a) khác vectơ-không. Cho biết u⃗  có giá song song hoặc trùng với Δ.

1. Tính tích vô hướng n⃗. u⃗và nêu nhận xét về phương của hai vectơ n⃗ , u⃗ .
2. Gọi M(x; y) là điểm di động trên Δ. Chứng tỏ rằng vectơ luôn cùng phương với vectơ u⃗và luôn vuông góc với vectơ n⃗ .

Đáp án:

1. a) . = a.b + b.(-a) = 0   .
2. b) Vì M, thuộc đường thẳng nên  chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng . Suy ra, vectơ  luôn cùng phương với vectơ  và luôn vuông góc với vectơ .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0(x₀;y₀) và nhận vectơ u⃗  = (u₁; u₂)  làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, tìm tọa độ của M theo tọa độ của M₀ và u⃗ .

Đáp án:

Tọa độ điểm M là: 

Bài 3:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(-9; 5) và nhận v⃗= (8; -4) làm vectơ chỉ phương.
2. Tìm tọa độ điểm P trên Δ, biết P có tung độ bằng 1.

Đáp án:

1. a) Phương trình tham số của đường thẳng là: 
2. b) Thay y = 1 vào phương trình y = 5 - 4t, ta được: 1 = 5 - 4t t = 1

Thay t = 1 vào phương trình x = -9 + 8t, ta được: x = -9 + 8. 1 = -1

Vậy P = (-1; 1)

Bài 4: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đề từ điểm M(1; 1) với vectơ vận tốc v⃗  = (40; 30).

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô.
2. Tìm tọa độ của xe ứng với t = 2; t = 4

Đáp án:

1. a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
2. b) Thay t = 2 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

Thay t = 4 vào phương trình đường thẳng d, tọa độ của xe là:

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ đi qua điểm M₀(x₀;y₀) và nhận n⃗  = (a; b) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc Δ, chứng tỏ rằng điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - a - b).

Đáp án:

Ta có:  = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng    = (b; -a).

Khi đó, tọa độ của điểm M là: 

Thay tọa độ điểm M vào phương trình ax + by + c = 0, ta được:

a( + bt) + b( - at) - a - b = 0  a + abt + b - abt - a - b = 0  0 = 0 (luôn đúng)

Vậy điểm M có tọa độ thỏa mãn phương trình: ax  + by + c = 0 (với c = - a - b).

Bài 6: Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường hợp sau:

1. Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 1) và có vectơ pháp tuyến n⃗= (3; 5);
2. Đường thẳng Δ đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và có vectơ chỉ phương u⃗= (2; - 7)
3. Đường thẳng Δ đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3)

Đáp án:

1. a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến  = (3; 5) nên có vectơ chỉ phương = (5; -3).

Phương trình tham số của  là: 

Phương trình tổng quát của  là: 3(x - 1) + 5(y - 1) = 0  3x + 5y - 8 = 0

1. b) Đường thẳng đi qua O(0; 0) và có vectơ chỉ phương = (2; -7) nên ta có phương trình tham số của  là: 

Đường thẳng  có vectơ chỉ phương  = (2; -7) nên có vectơ pháp tuyến  = (7; 2).

Phương trình tổng quát của  là: 7(x - 0) + 2(y - 0) = 0  7x + 2y = 0

1. Đường thẳng đi qua hai điểm M(4; 0), N(0; 3) nên có vectơ chỉ phương =  = (-4; 3) và vectơ pháp tuyến  = (3; 4)

Phương trình tham số của  là: 

Phương trình tổng quát của  là: 3(x - 4) + 4(y - 0) = 0  3x + 4y - 12 = 0

Bài 7: Một người đang lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm M(x; y) từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc v⃗  = (3; -4).

1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Δ biểu diễn đường đi của điểm M.
2. Tìm tọa độ của điểm M khi Δ cắt trục hoành.

Đáp án:

1. a) Ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng   = (4; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm A(1; 2) và nhận  = (4; 3) là vectơ pháp tuyến là:

4(x - 1) + 3(y - 2) = 0  4x + 3y - 10 = 0

1. b) Tọa độ của điểm M là giao điểm của đường thẳng và trục hoành: 

Ta có:   

Vậy M = (; 0)

Bài 8: Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong Thực hành 2

Đáp án:

1. a) Ta có: 3x + 5y - 8 = 0 y = x +

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của  là: y =  x +

1. b) Ta có: 7x + 2y = 0 y = x

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của  là: y = x

1. c) Ta có: 3x + 4y - 12= 0 y = x + 3

Vậy đồ thị hàm số bậc nhất của  là: y = x + 3

Bài 9: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 2m³/h vào một cái bể đã chứa sẵn 5m³ nước.

1. Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ.
2. Gọi y = f(x) là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này.
3. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quả của đường thẳng d.

Đáp án:

1. a)
2. b) Đồ thị d của hàm số đi qua hai điểm A(; 0) và B(0; 5).
3. c) Ta có:

 Phương trình tổng quát của đường thẳng d là .

Ta có d nhận  = (2; -1) là vectơ pháp tuyến nên  = (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm B(0; 5) và nhận  = (1; 2) là vectơ chỉ phương là: 

2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Cho hai đường thẳng Δ₁ và Δ₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là  và  

Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa Δ₁ và Δ₂ trong các trường hợp sau:

1. và  cùng phương (Hình 5a, b);
2. và  không cùng phương (Hình 5c, d);
3. và  vuông góc (Hình 5d)

Đáp án:

1. a) song song hoặc trùng với .
2. b) và cắt nhau.
3. c) vuông góc với .

Bài 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d₁ và d₂ trong các trường hợp sau:

1. d₁: x - 5y + 9 = 0 và d₂: 10x + 2y + 7 = 10;
2. d₁: 3x - 4y + 9 = 0 và d₂: 
3. d₁: và d₂: 

Đáp án:

1. a) Đường thẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là  = (1; -5) và  = (10; 2).

Ta có: .  = 1. 10 + (-5). 2 = 0 nên  và  là hai vectơ vuông góc, suy ra   .

Giải hệ phương trình:

Vậy  và  vuông góc và cắt nhau tại M(; ).

b)Ta có:  = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng .

 = (4; 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng    = (3; -4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng .

Ta có:  =  suy ra  và  là hai vectơ cùng phương. Vậy  song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc , thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 9  0.

Vậy  // .

1. c) và có phương trình tổng quát lần lượt là: 3x - 4y + 1 = 0 và 6x - 8y + 2 = 0, có vectơ pháp tuyến lần lượt là  = (3; -4) và  = (6; -8).

Ta có:  =  suy ra  và  là hai vectơ cùng phương. Vậy  song song hoặc trùng nhau. Lấy điểm M(1; 1) thuộc , thay tọa độ của M và phương trình , ta được: 3. 1 - 4. 1 + 1 = 0.

Vậy   .

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d₁:

1. Đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng d₂: x + 3y + 2 = 0;
2. Đi qua điểm B(4; - 1) và vuông góc với đường thẳng d₃: 3x - y + 1 = 0

Đáp án:

1. a) Vì song song với : x + 3y + 2 = 0 nên nhận  = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(2; 3) và nhận  = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 2) + 3(y - 3) = 0  x + 3y - 11 = 0

1. b) Vì vuông góc với : 3x - y + 1 = 0 nên nhận  = (1; 3) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm B(4; -1) và nhận  = (1; 3) là vectơ pháp tuyến là:

(x - 4) + 3(y  + 1) = 0  x + 3y - 1 = 0